因子分解定理

因子分解定理 (Factorization Theorem)

因子分解定理→代数学基石→精描多项式与根关系→n次复系数多项式在复数域内唯一分解为n个线性因子之积：$P(x)=a_n\prod_{i=1}^n(x-r_i)$→其中$r_i$为n个复根（含重根）→代数基本定理直接推论→为解多项式方程/分函行为/特征多项式等提供理基。

核心概念与定理推导

根/零点→$P(r)=0$⇔$(x-r)$为因子（因式定理）。重数：根$r$在分解中现k次→$r$为k重根→所有根重数之和=n。唯一性：给定$P(x)$→根集合(含重)唯一→分解式除因子序不排外独一无二。首项系数$a_n$→保展后$x^n$项系保持→变$a_n$垂直拉压图像→不改根位。

推导（从代数基本定理→"至少一复根"→因子分解）：①$P(x)$n次→至少一复根$r_1$→故$P(x)=(x-r_1)Q_1(x)$→$Q_1$为n-1次。②若n-1≥1→再应用到$Q_1$→得$r_2$→$Q_1=(x-r_2)Q_2$→$P=(x-r_1)(x-r_2)Q_2$。③重此n次→$P=a_n\prod(x-r_i)$→数学归纳法。

实系数特殊与示例

复共轭根定理：实系数多项式有复根$z=a+bi$→必伴共轭$\bar{z}=a-bi$→非实根成对。两共轭线性因子积：$(x-z)(x-\bar{z})=x^2-2ax+(a^2+b^2)$→实系数不可约二次（判别式<0）。故实系数多项式唯一分解为实线性因子与实不可约二次因子之积。

例：①$x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)$→三不等根。②$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$→根1重数3。③$x^4-16=(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$→实根2,-2+共轭复根2i,-2i。