图像复原

图像复原 (Image Restoration)

图像复原是数字图像处理中的一个基本问题，指从观测到的退化图像中重建或恢复出原始清晰图像的过程。与图像增强不同，图像复原通常是基于退化的数学模型，利用对退化过程（模糊、噪声、采样不足等）的某种先验知识，通过求逆问题来估计原始图像。图像复原的目标是使恢复结果在某种最优准则下尽可能接近原始未退化图像。

退化模型

图像复原的起点是建立退化的数学模型。最常见的退化模型是线性空间不变（Linear Shift-Invariant, LSI）模型，在离散域中表示为：

其中 $f(x, y)$ 为原始清晰图像，$h(x, y)$ 为退化系统的点扩散函数（Point Spread Function, PSF），$*$ 表示二维卷积运算，$\eta(x, y)$ 为加性噪声，$g(x, y)$ 为观测到的退化图像。在频域中，上式可写为 $G(u, v) = H(u, v) F(u, v) + N(u, v)$，其中各项为对应量的傅里叶变换。

主要退化类型

1. 模糊 (Blur)：由光学系统散焦、相机与物体间的相对运动、大气湍流等因素引起。PSF 分别对应圆盘函数、线性运动轨迹和高斯函数等形式。
2. 噪声 (Noise)：传感器热噪声、光子散粒噪声、量化噪声等。常见模型包括高斯噪声（电子元件热噪声）、泊松噪声（光子计数过程）、椒盐噪声（传输错误）和乘性噪声（相干成像系统如合成孔径雷达）。
3. 下采样与混叠：由传感器分辨率不足或采样率低于奈奎斯特频率引起的高频信息丢失和频谱混叠。

经典复原方法

逆滤波 (Inverse Filtering)是最直接的复原方法：$\hat{F}(u, v) = G(u, v) / H(u, v)$。其局限在于当 $H(u, v)$ 接近零值时，噪声项 $N(u, v)/H(u, v)$ 被极大放大，导致复原结果被噪声淹没。

维纳滤波 (Wiener Filtering)引入了最小均方误差（MSE）准则，在逆滤波和噪声抑制之间取得最优平衡：

其中 $H^*$ 为 $H$ 的复共轭，$S_\eta$ 和 $S_f$ 分别为噪声和原始图像的功率谱密度。当无噪声时（$S_\eta = 0$），维纳滤波退化为逆滤波；在噪声较强的频率处自动抑制增益。

约束最小二乘滤波 (Constrained Least Squares Filtering)通过引入平滑约束来正则化病态求逆问题。该方法最小化拉普拉斯算子等线性算子 $\mathcal{Q}$ 作用于复原图像后的范数，约束为 $\|g - H\hat{f}\|^2 = \|\eta\|^2$。

Richardson-Lucy 算法是一种基于贝叶斯定理和泊松噪声模型的迭代算法，广泛用于天文图像和显微图像的去模糊。其迭代公式为：

正则化理论

图像复原本质上是不适定问题(Ill-posed Problem)——解不唯一、不存在或不连续依赖于数据。正则化方法通过在目标函数中加入关于原始图像平滑性、稀疏性或边缘保持特性的先验约束来稳定求解。Tikhonov 正则化添加 $\ell_2$ 范数惩罚项，而总变分（Total Variation, TV）正则化则使用 $\ell_1$ 范数来更好地保持图像边缘。

盲复原与深度学习

当 PSF 未知时，问题称为盲去卷积 (Blind Deconvolution)，需同时估计 PSF 和原始图像。近年来，基于深度学习的方法——包括卷积神经网络（CNN）、生成对抗网络（GAN）和扩散模型——大幅提升了图像复原的性能，在去噪、超分辨率和去模糊等任务上达到最优结果。这些方法通过学习大量退化-清晰图像对的映射关系，隐式地捕捉复杂的图像先验知识。