完备充分统计量

完备充分统计量

完备充分统计量结合充分统计量和完备统计量两性质→在寻找UMVUE中扮关键角色。

充分性

统计量 $T(X)$ 充分→含样本关于$\theta$全部信息（知T值后原始数据不再提供额外信息）。条件分布 $P(X=x\mid T=t)$ 不依赖$\theta$。Neyman-Fisher因子分解定理：联合PDF/PMF $f(x\mid\theta) = g(T(x)\mid\theta) \cdot h(x)$（$\theta$依赖仅通过T；$h(x)$不依赖$\theta$）。

例伯努利：联合PMF = $p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}$ = $p^{T}(1-p)^{n-T} \cdot 1$→$T=\sum X_i$是$p$的充分统计量（只需总成功次数→无需每次试验顺序）。

完备性

统计量T完备：若$E_\theta[g(T)]=0$对所有$\theta$成立→则$P_\theta(g(T)=0)=1$（唯一期零函数即零函数）。直观：T中无冗余信息/系统偏差。

续伯努利证明：$T\sim\mathrm{Binomial}(n,p)$。$E_p[g(T)]=\sum_{t=0}^n g(t)\binom{n}{t}p^t(1-p)^{n-t}=0$→除以$(1-p)^n$→令$y=p/(1-p)$→多项式$Q(y)=\sum[g(t)\binom{n}{t}]y^t=0$恒零→所有系数为零→$g(t)\binom{n}{t}=0$→因$\binom{n}{t}>0$→$g(t)=0$→T完备。

捷径：指数族分布且参数空间含开集→自然统计量即完备充分统计量。正态/泊松/二项/伽玛/贝塔均属指数族。

Lehmann-Scheffé定理

莱曼-谢费定理：若T完备充分且W是$\tau(\theta)$的无偏估计量→$\phi(T)=E[W\mid T]$是$\tau(\theta)$唯一UMVUE。

逻辑：Rao-Blackwell定理→充分统计量取条件期望得方差更小的估计量；完备性→唯一性（两不同起点得相同终点）。

例泊松$\lambda$：T=$\sum X_i$完备充分（指数族），W=$X_1$无偏（$E[X_1]=\lambda$）。Lehmann-Scheffé→UMVUE=$E[X_1\mid\sum X_i=t]$。已知$X_1\mid\sum X_i=t\sim\mathrm{Binomial}(t,1/n)$→期望=$t/n=\bar{X}$。证$\bar{X}$是$\lambda$的UMVUE。