完备统计量

完备统计量 (Complete Statistic)

完备统计量是数理统计中比充分性更强的性质→确保统计量"无冗余"压缩样本中关于参数的信息。定义：若对所有$\theta$，$E_\theta[g(T)]=0$→则$P_\theta(g(T)=0)=1$（几乎处处为零）。直观：T中信息如此"完整"→无法构造任何非零函数g(T)使其期望与$\theta$变化脱钩。

验证方法

从定义直接验证一般困难→常依赖定理和指数族性质。

伯努利例：$T=\sum X_i\sim B(n,p)$。$E_p[g(T)]=\sum g(t)\binom{n}{t}p^t(1-p)^{n-t}=0$。除以$(1-p)^n$→令$y=p/(1-p)$→$\sum[g(t)\binom{n}{t}]y^t=0$恒零。n次多项式在$(0,\infty)$有无穷根→必为零多项式→所有系数为0→$g(t)\binom{n}{t}=0$→$\binom{n}{t}>0$→$g(t)=0$→T完备。

指数族捷径：若分布属k参数指数族 $f(x|\theta)=h(x)c(\theta)\exp(\sum\eta_j(\theta)T_j(x))$，且$\eta(\Theta)$含$\mathbb{R}^k$开集→则统计量向量$(\sum T_1(X_i),\dots,\sum T_k(X_i))$完备充分（正态/泊松/指数/伽玛均属指数族）。

核心应用

莱曼-谢费定理：若T完备充分且$\phi(T)$无偏（$E_\theta[\phi(T)]=\tau(\theta)$）→则$\phi(T)$是$\tau(\theta)$的唯一最小方差无偏估计量(UMVUE)。逻辑：Rao-Blackwell（充分统计量取条件期望降低方差）+完备性→唯一性（两不同无偏估计量基于T→差函数期望为零→完备性→差为零→相同）。

巴苏定理：若T完备充分且A为辅助统计量（分布不依赖$\theta$）→则T与A相互独立。经典例：正态$N(\mu,\sigma^2)$（$\sigma^2$已知）→样本均值$\bar{X}$完备充分→样本方差$S^2$关于$\mu$辅助→巴苏定理→$\bar{X}$与$S^2$独立（t检验构建基础性结论）。

常见分布完备充分统计量表

| 分布 | 参数 | 完备充分统计量 | |------|------|---------------| | 二项$B(n,p)$ | p | $T=X$（样本→$\sum X_i$） | | 泊松$Pois(\lambda)$ | $\lambda$ | $\sum X_i$ | | 正态$N(\mu,\sigma_0^2)$ | $\mu$（$\sigma_0^2$已知） | $\sum X_i$或$\bar{X}$ | | 正态$N(\mu_0,\sigma^2)$ | $\sigma^2$（$\mu_0$已知） | $\sum(X_i-\mu_0)^2$ | | 正态$N(\mu,\sigma^2)$ | $(\mu,\sigma^2)$ | $(\sum X_i,\sum X_i^2)$或$(\bar{X},S^2)$ | | 指数$Exp(\lambda)$ | $\lambda$ | $\sum X_i$ | | 均匀$U(0,\theta)$ | $\theta$ | $\max(X_1,\dots,X_n)$ |

注意：非所有充分统计量都完备（反例：$U(\theta-1/2,\theta+1/2)$→$(X_{(1)},X_{(n)})$充分但不完备→样本极差R分布不依赖$\theta$→为辅助统计量→可构造非零g$(X_{(1)},X_{(n)})=R-E(R)$→期望恒零但非零函数）。