数理统计

数理统计 (Mathematical Statistics)

数理统计是应用概率论成果研究含随机性数据的收集/分析/推断→为数据科学/计量经济学/生物统计提供理论框架。核心任务：从样本统计量推断总体未知参数→概率论为桥→将统计量视为随机变量研究抽样分布。

参数估计

点估计：单一数值→样本均值$\bar{X}$估$\mu$。优良性质：无偏性（$E[\hat{\theta}]=\theta$→无系统性偏差）；有效性（无偏中方差最小→克拉默-拉奥不等式设下限）；相合性（$n\to\infty$时$\hat{\theta}\xrightarrow{p}\theta$）。方法：矩估计（样本矩估总体矩→解方程）；MLE（使似然函数最大的参数值→渐近无偏+渐近有效→最广泛）。

区间估计：置信区间提供参数可能范围→95\%=重复抽样→95\%区间含真值→量化不确定性。依赖中心极限定理。

假设检验

框架：零假设$H_0$（"无罪推定"→代表无效应）vs备择假设$H_1$。设显著性水平$\alpha$（弃真风险→通常0.05）。算检验统计量→决策：p值法（若$p<\alpha$拒$H_0$）；临界值法（统计量落拒绝域拒$H_0$）。

两类错误：第一类（$H_0$真误拒→概率$\alpha$）；第二类（$H_0$假未拒→概率$\beta$）。统计功效=1-$\beta$→$H_0$假时正确拒概率→实验设计控$\alpha$同时提功效。

理论基石与扩展

CLT：无论总体分布→大独立同分布样本均值≈正态→利用正态做推断。大数定律：n→∞→样本均值收敛于总体均值→为均值估计提供依据。

扩展：贝叶斯统计（参数为随机变量→先验分布+似然→贝叶斯定理→后验分布→所有推断基于后验→vs频率派）；计算统计学（自助法/MCMC等重抽样模拟→复杂模型推断可能）；决策理论（损失函数+风险函数期望→求最优决策）。