布罗施-帕甘检验

布罗施-帕甘检验 (Breusch-Pagan Test)

布罗施-帕甘检验（Breusch-Pagan Test），简称BP检验，是计量经济学中用于诊断线性回归模型中是否存在异方差性的一种统计检验方法。该检验由Trevor Breusch和Adrian Pagan于1979年提出，与怀特检验（White Test）并列为最常用的异方差检验工具。布罗施-帕甘检验的核心思想是，检验回归误差项的方差是否系统性地依赖于一个或多个解释变量，若原假设被拒绝则表明模型存在异方差性，此时普通最小二乘法（OLS）的标准误和检验统计量将不再可靠。

检验原理与假设设定

考虑标准线性回归模型：$y_i = \mathbf{x}_i' \boldsymbol{\beta} + \epsilon_i$（$i = 1, \ldots, n$），满足零条件均值假设 $E[\epsilon_i \mid \mathbf{x}_i] = 0$。异方差性表现为 $\operatorname{Var}(\epsilon_i \mid \mathbf{x}_i) = \sigma_i^2$ 随i而变化，而非恒定常数 $\sigma^2$。布罗施-帕甘检验将方差函数参数化为解释变量的线性函数：

其中 $\mathbf{z}_i$ 为$p$个决定异方差模式的外生变量组成的向量，$h(\cdot)$ 为正值函数，最常用 $h(u) = u$ 或 $h(u) = \exp(u)$。

BP检验的假设设定为：

• 原假设 $H_0$：同方差性，即 $\sigma_i^2 = \sigma^2$ 对于所有i成立。
• 备择假设 $H_1$：存在异方差性，即 $\sigma_i^2$ 依赖于 $\mathbf{z}_i$。

检验统计量的构造

第一步，用OLS估计原回归模型，获得残差 $\hat{\epsilon}_i$。

第二步，构造辅助回归。计算残差平方 $\hat{\epsilon}_i^2$，对 $\mathbf{z}_i$ 做辅助回归：

第三步，计算检验统计量。令辅助回归的决定系数为 $R^2_{aux}$，BP检验统计量为：

在原假设成立下，该统计量渐近服从自由度为$p-1$的卡方分布。若BP统计量大于显著性水平的临界值，则拒绝原假设。

与怀特检验的比较

布罗施-帕甘检验要求预先指定影响异方差的变量 $\mathbf{z}_i$，当选择恰当时检验功效较高。怀特检验直接在辅助回归中包含原解释变量及其平方项和交叉项，不依赖先验设定但自由度消耗较大，在小样本中功效不足。

科恩克-巴索特修正

Koenker与Bassett于1982年提出稳健修正版BP检验，替代残差平方为标准化形式，消除对正态性的依赖。修正检验统计量 $KB = n \cdot R^2_{aux}$ 在更宽松条件下收敛于 $\chi^2_{p-1}$，为大多数计量软件包（如Stata的 \texttt{estat hettest}）的默认实现。

在实证经济学中，BP检验用作加权最小二乘法（WLS）或异方差稳健标准误的前置诊断。当BP检验拒绝同方差时，应报告异方差稳健推断结果。布罗施-帕甘检验以其简洁构造和明确经济学解释，成为计量实证分析中异方差诊断的标准工具。