异方差性

异方差性 (Heteroskedasticity)

异方差性是回归分析中误差项的方差不恒定的情况。与同方差性（古典线性回归模型的核心假定）相对。数学上：$\mathrm{Var}(u_i \mid X) = \sigma_i^2$（非常数），而非常数 $\sigma^2$。

异方差性的后果

使用普通最小二乘法 (OLS) 但存在异方差性时：

1. OLS估计量仍无偏且一致：系数估计值本身并非系统性偏误
2. OLS不再是BLUE：违反高斯-马尔可夫定理假定，不再是最有效线性无偏估计量
3. 标准误计算公式失效：常规标准误公式有偏，通常低估真实方差（最严重影响）
4. t检验、F检验、置信区间不可靠：所有基于标准误的统计推断无效

异方差性的成因

主要出现在截面数据中：经济行为波动性随规模增大（高收入家庭消费方差更大）、误差学习模型、数据收集精度改进、模型设定偏误（遗漏变量/错误函数形式）、异常值。

如何检验

图形法：绘制残差平方对解释变量或预测值的散点图，出现喇叭形或锥形则表明异方差性。

Breusch-Pagan检验：辅助回归 $e_i^2 = \alpha_0 + \alpha_1 x_{i1} + \dots + \alpha_k x_{ik} + v_i$。检验统计量 $n \times R^2 \xrightarrow{d} \chi^2(k)$。原假设为同方差性。

White检验：更一般化的检验，辅助回归还包含解释变量的平方项和交叉项。优点是无需预设异方差形式，缺点是小样本下功效可能降低。

处理方法

1. 稳健标准误 (Eicker-Huber-White standard errors)：最常用方法。保留OLS点估计，用异方差稳健公式重新计算标准误，使t检验/F检验在大样本下有效。
2. 加权最小二乘法 (WLS)：已知异方差形式时比OLS更有效（广义最小二乘法 GLS特例）。将方程除以 $\sigma_i$，使变换后误差项同方差。
3. 可行广义最小二乘法 (FGLS)：先估计 $\sigma_i^2$ 的形式，再用估计值作为权重进行WLS。
4. 变量变换：如取自然对数压缩数据尺度，减小极端值影响。