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布罗施-戈弗雷检验 (Breusch-Godfrey Test)

布罗施-戈弗雷检验 (Breusch-Godfrey Test) 布罗施-戈弗雷检验 (Breusch-Godfrey Test，简称 BG 检验) 是计量经济学中用于检验回归模型残差是否存在高阶自相关 (serial correlation / autocorrelation) 的一种常用方法。由 Trevor Breusch 和 Leslie Godfr

浏览 0 更新 2025-10-26

布罗施-戈弗雷检验 (Breusch-Godfrey Test)

布罗施-戈弗雷检验 (Breusch-Godfrey Test，简称 BG 检验) 是计量经济学中用于检验回归模型残差是否存在高阶自相关 (serial correlation / autocorrelation) 的一种常用方法。由 Trevor Breusch 和 Leslie Godfrey 于 1978 年分别独立提出。与德宾-沃森检验 (Durbin-Watson Test) 相比，BG 检验的适用范围更广：它允许检验任意阶数的自相关，且不要求模型不含滞后被解释变量作为解释变量。

检验背景与动机

在经典线性回归模型 (CLRM) 中，核心假设之一是误差项 εt\varepsilon_t 之间相互独立（即无自相关）。当这一假设被违反时，普通最小二乘法 (OLS) 仍然保持无偏性和一致性，但不再有效——估计量的方差被错误估计，从而导致显著性检验 (如 t 检验和 F 检验) 失效。

自相关常见于时间序列数据中，例如经济变量在相邻时期往往表现出相似的趋势。BG 检验通过在残差中探测自回归模式来解决这一问题。

模型设定

考虑线性回归模型：

yt=xt′β+εt,t=1,2,…,Ty_t = x_t' \beta + \varepsilon_t, \quad t = 1, 2, \ldots, T

假设误差项服从 pp 阶自回归过程 AR(pp)：

εt=ρ1εt−1+ρ2εt−2+⋯+ρpεt−p+ut\varepsilon_t = \rho_1 \varepsilon_{t-1} + \rho_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \rho_p \varepsilon_{t-p} + u_t

其中 utu_t 为白噪声 (white noise)。原假设为无自相关：

H0:ρ1=ρ2=⋯=ρp=0H_0: \rho_1 = \rho_2 = \cdots = \rho_p = 0

备择假设为至少存在一个 ρj≠0\rho_j \neq 0（即存在自相关）。

检验步骤

  1. 用 OLS 估计原回归模型，得到残差 ε^t=yt−xt′β^OLS\hat{\varepsilon}_t = y_t - x_t' \hat{\beta}_{\mathrm{OLS}}。
  2. 将 ε^t\hat{\varepsilon}_t 对原解释变量 xtx_t 和 pp 个滞后残差 ε^t−1,ε^t−2,…,ε^t−p\hat{\varepsilon}_{t-1}, \hat{\varepsilon}_{t-2}, \ldots, \hat{\varepsilon}_{t-p} 进行辅助回归 (auxiliary regression)： \[ \hat{\varepsilon}_t = x_t' \gamma + \rho_1 \hat{\varepsilon}_{t-1} + \rho_2 \hat{\varepsilon}_{t-2} + \cdots + \rho_p \hat{\varepsilon}_{t-p} + v_t \]
  3. 从辅助回归中提取 R2R^2 值。检验统计量为： \[ \mathrm{LM} = (T - p) R^2 \] 其中 TT 为样本量，pp 为滞后阶数。
  4. 在原假设下，LM→dχ2(p)\mathrm{LM} \xrightarrow{d} \chi^2(p)，即渐近服从自由度为 pp 的卡方分布。
  5. 若 LM 统计量大于给定显著性水平下的临界值（或 pp 值小于显著性水平），则拒绝 H0H_0，判定存在自相关。

等价形式

BG 检验也可构造为 F 检验形式：

F=R2/p(1−R2)/(T−k−p)∼F(p,T−k−p)F = \frac{R^2 / p}{(1 - R^2) / (T - k - p)} \sim F(p, T - k - p)

其中 kk 为原解释变量个数（不含常数项）。在大样本下，LM 统计量和 F 统计量渐近等价。

与德宾-沃森检验的比较

  • 适用范围：DW 检验仅检验一阶自相关 AR(1)，且要求模型不含滞后被解释变量。BG 检验可检验任意阶自相关 AR(pp)，且允许模型中包含滞后被解释变量。
  • 检验形式：DW 检验有不确定区域 (inconclusive region)，而 BG 检验的渐近分布为标准的 χ2\chi^2，没有不确定区域。
  • 有限样本性质：在小样本下，BG 检验可能出现过度拒绝的问题（size distortion），通常建议使用 F 统计量版本以获得更好的有限样本表现。

滞后阶数 pp 的选择

选择恰当的 pp 是 BG 检验的关键。常用方法包括：使用信息准则如赤池信息准则 (AIC) 或贝叶斯信息准则 (BIC)；通过偏自相关函数 (PACF) 初步判断；根据数据频率设定——如季度数据考虑 p=4p = 4，月度数据考虑 p=12p = 12。

在软件中的实现

在主流计量软件中，BG 检验已广泛内置：

  • R：\texttt{lmtest} 包中的 \texttt{bgtest()} 函数。
  • Stata：\texttt{estat bgodfrey} 命令。
  • Python (Statsmodels)：\texttt{acorr\_breusch\_godfrey()} 函数。
  • EViews：View/Residual Diagnostics/Serial Correlation LM Test。

注意事项

  1. BG 检验是大型样本检验，其渐近性质在小样本中可能不理想。
  2. 辅助回归中的滞后残差会减少有效样本量（T−pT - p 个观测），在样本量较小时需注意自由度损失。
  3. 若模型中包含滞后被解释变量，DW 检验偏向于接受 H0H_0（即不易检测到自相关），此时 BG 检验是更可靠的选择。
  4. 当检测到自相关时，常用的修正方法包括使用广义最小二乘法 (GLS)、异方差与自相关稳健标准误 (HAC 标准误) 或对模型重新设定（如引入滞后变量或差分变量）。