库克距离

库克距离 (Cook's Distance)

库克距离 (Cook's Distance) 是回归分析中用于识别强影响点 (Influential Points) 的一种常用诊断统计量，由美国统计学家 R. Dennis Cook 于 1977 年提出。它衡量当删除某个观测值时，回归模型中所有拟合值所发生的整体变化程度。库克距离越大，表明该观测点对回归结果的影响越强。

定义与公式

在标准线性回归模型 $y = X\beta + \varepsilon$ 中，设共有 $n$ 个观测值，$p$ 个解释变量（含截距项）。库克距离 $D_i$ 的定义为：

其中 $\hat{\beta}$ 为全样本的参数估计向量，$\hat{\beta}_{(i)}$ 为删除第 $i$ 个观测值后的参数估计向量，MSE 为全样本的均方误差。该公式也可等价地表示为：

其中 $e_i$ 为第 $i$ 个观测值的残差，$h_{ii}$ 为帽子矩阵的第 $i$ 个对角元素（即杠杆值）。这一分解形式直观展示了库克距离的两个核心组成部分：残差大小和杠杆值。

判断标准

关于库克距离的临界值，尚无统一的严格标准。常用的经验法则包括：

• $D_i > 4/n$：该观测点值得进一步关注，这是最常用的阈值，其中 $n$ 为样本量。
• $D_i > 1$：该观测点对回归结果的影响较大，可能需要处理。

在实际应用中，通常将库克距离与散点图或索引图结合使用，通过可视化手段更直观地识别异常点。

性质与关系

库克距离具有以下重要性质：非负性 ($D_i \geq 0$)；综合衡量——同时考虑残差大小和杠杆值；尺度无关——与 $y$ 变量的测量单位无关。

库克距离与其他回归诊断统计量密切相关：杠杆值仅衡量自变量空间中的极端程度；DFBETAS 衡量单个参数的变化；DFFITS 衡量单个拟合值的变化；而库克距离衡量所有拟合值的整体变化。

应用与局限

库克距离广泛应用于数据清洗与预处理、模型稳健性检验、经济与社会科学分析等领域。需要注意，库克距离无法识别掩盖效应 (Masking Effect)，即多个异常点相互掩盖彼此影响的情况。此外，临界值仅为经验参考，缺乏严格的统计显著性检验框架。

主流统计软件均提供库克距离的计算功能：R 使用 \texttt{cooks.distance()} 函数；Python 的 \texttt{statsmodels} 库中 \texttt{OLSInfluence} 对象提供该属性；Stata 回归后使用 \texttt{predict d, cooksd} 命令。一旦识别出强影响点，研究者可核实数据、使用稳健回归方法、或进行变量变换来处理。

总结

库克距离是一种简单且有效的强影响点诊断工具，帮助研究者识别对回归结果产生不成比例影响的观测点，从而提升统计建模的可靠性和稳健性。在實際分析中，建议将其与残差图、QQ图等其他诊断手段配合使用，形成全面的模型评估策略。