异方差线性回归模型

异方差线性回归模型

当线性回归模型的误差项方差不为常数（违反同方差性）时有异方差：$\mathrm{Var}(\epsilon_i \mid X_i) = \sigma_i^2$（因观测值而异）。示例：家庭储蓄与收入——低收入方差小（消费固定），高收入方差大。

后果

OLS估计量仍线性、无偏、一致。但不再是最佳线性无偏（不是BLUE，有比OLS更有效的算法如GLS）。最严重问题：标准方差-协方差公式有偏→软件默认标准误、t/F统计量、p值全部不可靠→统计推断失效。

检验方法

图形法：残差²对预测值或自变量散点图，喇叭形/系统性模式暗示异方差。正式检验：Breusch-Pagan检验(BP)——残差²标准化后对原自变量回归，用LM=$nR^2$（卡方分布）；怀特检验(White)——残差²对原自变量+平方项+交叉项回归（通用但消耗大量自由度）。

修正方法

异方差稳健标准误（稳健标准误/怀特标准误）：最常用——不改OLS系数，修正方差公式：$\mathrm{Var}(\hat{\beta}) = (X'X)^{-1}(X'\hat{\Omega}X)(X'X)^{-1}$（$\hat{\Omega}$对角元素为$\hat{\epsilon}_i^2$）。t/p值/置信区间修正→假设检验重新有效。

变量变换（对数/平方根等稳定方差但改变模型形式和经济含义）。加权最小二乘法(WLS)：若方差形式已知（$w_i$已知），以$1/\sqrt{w_i}$加权→BLUE。可行广义最小二乘法(FGLS)：方差结构未知时两步法（OLS→估计方差→WLS），但小样本性质不佳且对方差模型设定敏感。推荐OLS+稳健标准误。