微积分第一基本定理

微积分第一基本定理 (First Fundamental Theorem of Calculus)

微积分第一基本定理是微积分的两大基石之一，揭示了微分与积分之间的互逆关系。该定理断言：若一个函数在闭区间上连续，则由其定积分定义的变上限函数是可微的，且其导数恰为被积函数本身。这一定理被广泛认为是数学史上最重要的发现之一，它将此前彼此独立发展的切线问题（微分）和面积问题（积分）统一在同一理论框架下。

定理陈述

设 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，定义变上限积分函数：

则 $F$ 在 $[a, b]$ 上可微，且对任意 $x \in (a, b)$ 有：

换言之，变上限积分对上限的导数等于被积函数在上限处的值。

直观解释

定积分 $\int_a^x f(t) dt$ 的几何意义是函数 $f$ 在 $[a, x]$ 上与横轴围成的面积。当上限 $x$ 向右微移 $\Delta x$ 时，面积增加量近似为 $f(x) \cdot \Delta x$（新增的窄矩形条的面积）。因此：

当 $\Delta x \to 0$ 时，近似变为精确，导数为 $f(x)$。

证明概要

对任意 $x, x+h \in [a, b]$，$h \neq 0$：

由于 $f$ 在 $[x, x+h]$（或 $[x+h, x]$）上连续，由积分中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+h$ 之间使得：

因此：

当 $h \to 0$ 时，$\xi \to x$。由 $f$ 的连续性，$f(\xi) \to f(x)$。故 $F'(x) = f(x)$。

与第二基本定理的关系

微积分第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）可以从第一基本定理直接推出：若 $F$ 是 $f$ 的任意一个原函数（即 $F' = f$），则 $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。两定理合在一起完整表达了微分与积分的互逆性——先积分再微分回到原函数（第一定理），先微分再积分也回到原函数（第二定理）。

推广

• 当积分的上下限都是函数时：$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) b'(x) - f(a(x)) a'(x)$。
• 在勒贝格积分框架下，第一基本定理以几乎处处可微的形式成立：若 $f \in L^1([a,b])$，则 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 几乎处处可微且 $F'(x) = f(x)$ a.e.

该定理不仅是微积分理论的逻辑起点，也在物理学、概率论（如累积分布函数与概率密度函数的关系）和工程学中有广泛应用。