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微积分第一基本定理

微积分第一基本定理 (First Fundamental Theorem of Calculus) 微积分第一基本定理是微积分的两大基石之一，揭示了微分与积分之间的互逆关系。该定理断言：若一个函数在闭区间上连续，则由其定积分定义的变上限函数是可微的，且其导数恰为被积函数本身。这一定理被广泛认为是数学史上最重要的发现之一，它将此前彼此独立发展的切线问题（微分）

浏览 0 更新 2026-05-25

微积分第一基本定理 (First Fundamental Theorem of Calculus)

微积分第一基本定理是微积分的两大基石之一，揭示了微分与积分之间的互逆关系。该定理断言：若一个函数在闭区间上连续，则由其定积分定义的变上限函数是可微的，且其导数恰为被积函数本身。这一定理被广泛认为是数学史上最重要的发现之一，它将此前彼此独立发展的切线问题（微分）和面积问题（积分）统一在同一理论框架下。

定理陈述

设 ff 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续，定义变上限积分函数：

F(x)=∫axf(t) dt,x∈[a,b]F(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad x \in [a, b]

则 FF 在 [a,b][a, b] 上可微，且对任意 x∈(a,b)x \in (a, b) 有：

F′(x)=ddx∫axf(t) dt=f(x)F'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)

换言之，变上限积分对上限的导数等于被积函数在上限处的值。

直观解释

定积分 ∫axf(t)dt\int_a^x f(t) dt 的几何意义是函数 ff 在 [a,x][a, x] 上与横轴围成的面积。当上限 xx 向右微移 Δx\Delta x 时，面积增加量近似为 f(x)⋅Δxf(x) \cdot \Delta x（新增的窄矩形条的面积）。因此：

F(x+Δx)−F(x)Δx≈f(x)⋅ΔxΔx=f(x)\frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} \approx \frac{f(x) \cdot \Delta x}{\Delta x} = f(x)

当 Δx→0\Delta x \to 0 时，近似变为精确，导数为 f(x)f(x)。

证明概要

对任意 x,x+h∈[a,b]x, x+h \in [a, b]，h≠0h \neq 0：

F(x+h)−F(x)h=1h∫xx+hf(t) dt\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt

由于 ff 在 [x,x+h][x, x+h]（或 [x+h,x][x+h, x]）上连续，由积分中值定理，存在 ξ\xi 介于 xx 与 x+hx+h 之间使得：

∫xx+hf(t) dt=f(ξ)⋅h\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(\xi) \cdot h

因此：

F(x+h)−F(x)h=f(ξ)\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(\xi)

当 h→0h \to 0 时，ξ→x\xi \to x。由 ff 的连续性，f(ξ)→f(x)f(\xi) \to f(x)。故 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)。

与第二基本定理的关系

微积分第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）可以从第一基本定理直接推出：若 FF 是 ff 的任意一个原函数（即 F′=fF' = f），则 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)。两定理合在一起完整表达了微分与积分的互逆性——先积分再微分回到原函数（第一定理），先微分再积分也回到原函数（第二定理）。

推广

  • 当积分的上下限都是函数时：ddx∫a(x)b(x)f(t)dt=f(b(x))b′(x)−f(a(x))a′(x)\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) b'(x) - f(a(x)) a'(x)。
  • 在勒贝格积分框架下，第一基本定理以几乎处处可微的形式成立：若 f∈L1([a,b])f \in L^1([a,b])，则 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int_a^x f(t) dt 几乎处处可微且 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) a.e.

该定理不仅是微积分理论的逻辑起点，也在物理学、概率论（如累积分布函数与概率密度函数的关系）和工程学中有广泛应用。