抽样

抽样 (Sampling)

抽样是从总体中按规则选取部分个体形成样本，进而推断总体特征的核心方法。相较于普查，抽样具有成本效益、及时性、可行性和准确性优势。

核心概念

• 总体：全部个体的集合（有限/无限）
• 样本：从总体抽取的部分，必须具有代表性
• 抽样单位：被抽取的基本单元
• 抽样框：包含所有抽样单位的清单，直接影响样本代表性
• 参数：总体特征（$\mu$, $P$, $\sigma$），未知固定常量
• 统计量：样本特征（$\bar{x}$, $p$, $s$），随机变量

抽样方法

概率抽样

每个单位有已知非零概率被选中，可进行正式统计推断并计算抽样误差。

1. 简单随机抽样 (SRS)：每个单位等概率被选。理论上最简单，需完整抽样框。当总体庞大或地理分布广时成本高。
2. 系统抽样：随机起点后按固定间隔 $k \approx N/n$ 选取。操作简便快捷，但若抽样框存在与间隔相近的周期性可能导致偏误。
3. 分层抽样：按特征分“层”，每层内独立随机抽样。提高代表性，层内同质时可获更高估计精度。需先验知识，设计更复杂。
4. 整群抽样：随机抽取自然群组，调查群内全部（单阶段）或部分（多阶段）单位。适用于地理分布广、难获取个体抽样框的场景。组内相关性导致抽样误差通常更大。

非概率抽样

基于主观判断或方便性选样，无法计算抽样误差，不可推广到总体。包括方便抽样、判断抽样、滚雪球抽样、配额抽样。

抽样误差与非抽样误差

• 抽样误差：仅观察部分总体产生的随机误差，概率抽样下可通过标准误估计，增加样本量可减小
• 非抽样误差：普查也无法避免，包括覆盖误差（抽样框不完整）、无应答误差、测量误差、数据处理误差

中心极限定理

中心极限定理 (CLT) 是抽样推断的理论基石：从任意总体（均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$）中抽取大小为 $n$ 的样本，当 $n$ 足够大时，样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布近似正态 $N(\mu, \sigma^2/n)$。无论原始分布形状如何，大样本下样本均值分布近似正态，使置信区间和假设检验成为可能。