数量指数

数量指数 (Quantity Index)

数量指数（物量指数）衡量一组物品数量综合变动，从价值变动中剔除价格指数影响以反映"真实"增长。核心应用：计算实际GDP。挑战：不同计量单位的物品如何汇总——引入权重（价格表示重要性）。

主要类型

拉斯佩尔数量指数：用基期价格 $p_0$ 加权。$L_Q = \sum p_0 q_t / \sum p_0 q_0$。答："价格不变，数量变化致价值增长多少？"特点：固定权重易于比较和数据需求小，但存在上偏误（忽略替代偏误，固定基期权重不反映消费结构调整）。

帕氏数量指数：用报告期价格 $p_t$ 加权。$P_Q = \sum p_t q_t / \sum p_t q_0$。反映当前结构但存在下偏误，每期权重变化不可直接跨期比较。

费雪数量指数：几何平均 $F_Q = \sqrt{L_Q \times P_Q}$，中和上偏/下偏，具有优良数学特性（满足时间互换和因子互换检验）但数据需求最高。

与价格指数的关系

价值指数 $V = \sum p_t q_t / \sum p_0 q_0$。恒等式：$V = L_P \times P_Q = P_P \times L_Q$（一为拉氏一为帕氏）。现代应用：链式加权（不断更新基期，年逐年增长率串联），持续反映结构变化，极大减少替代偏误，是衡量长期真实增长的最优方法。

数值示例

两商品A($p_0$=10,q0=20; $p_t$=12,qt=25)、B(50,5;45,8)。$L_Q = 650/450 \approx 1.444$(+44.4\%)；$P_Q = 660/465 \approx 1.419$(+41.9\%)；$F_Q = \sqrt{1.444 \times 1.419} \approx 1.431$(+43.1\%)。典型：$P_Q < F_Q < L_Q$。