斯塔克伯格与分段函数

斯塔克伯格与分段函数 (Stackelberg with Piecewise Function)

在产业组织理论中，Stackelberg模型描述双头垄断的序贯博弈：领导者先定产 $q_1$，跟随者观察后选 $q_2$，以逆向归纳法求解。标准模型假设反应函数连续可微，但当跟随者面临产能约束或分段边际成本时，其反应函数变为分段函数，领导者决策从单一优化升格为跨情景策略权衡。

分段反应函数的成因

产能约束：设跟随者最大产能为 $K$，无约束最优反应 $q_2^*(q_1)$，实际 $R_2(q_1) = \min(q_2^*(q_1), K)$。$q_2^* \le K$ 时约束无效，$q_2^* > K$ 时跟随者被锁定于 $K$，形成拐点。

分段边际成本：若跟随者产量低于 $\bar{q}$ 时边际成本为 $c_L$，超出后升至 $c_H$（如加班工资），则 $MR = MC$ 在不同区间给出不同解，导出分段反应。

领导者决策框架

设逆需求 $P = a - b(q_1 + q_2)$，边际成本均为 $c$，跟随者产能 $K$。

第一步：无约束下 $q_2^*(q_1) = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}q_1$，引入产能约束：

拐点 $q_1' = \frac{a-c}{b} - 2K$。

第二步——分情景求解：

策略A（标准斯塔克伯格）： 代入 $q_2 = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}q_1$，最大化得 $q_1^S = \frac{a-c}{2b}$，利润 $\Pi_1^S$。

策略B（迫使跟随者达产能上限）： 令 $q_2 = K$，利润 $\Pi_1 = [(a-c-bK) - bq_1]q_1$，最大化得 $q_1^K = \frac{a-c-bK}{2b}$，利润 $\Pi_1^K$。

第三步——一致性检验： 策略A须 $q_1^S \ge q_1'$，策略B须 $q_1^K < q_1'$。违反前提则候选无效，此时边界 $q_1 \approx q_1'$ 成为备选。领导者比较所有有效方案，取利润最高者。

经济学含义

分段反应赋予领导者策略性迁就的可能：与其大幅压缩对手空间，不如压低自身产量，诱使跟随者扩张至产能上限 $K$。此举将对手行为锁定于可预测水平——此后领导者如面对剩余需求 $P = (a-bK) - bq_1$ 的垄断者。当 $K$ 足够小时，$\Pi_1^K$ 可超越 $\Pi_1^S$。

这体现博弈论核心洞见：先行者优势不仅来自率先行动，更来自通过塑造对手可行集来影响博弈格局。该框架可直接推广至关税与配额分析。