有界收敛定理

有界收敛定理 (Bounded Convergence Theorem, BCT)

BCT→测度论/实分析核→为换极限与积分序提供充分条件→勒贝格积分三基石之一（与单调收敛MCT、控制收敛DCT并列）→实为DCT重要特例→在概率等测度有限域尤有用。

条件：有限测度$\mu(X)<\infty$→$\{f_n\}$逐点收敛于f→$\{f_n\}$一致有界（$\exists M>0,\forall n,x:|f_n(x)|\le M$）→则f勒贝格可积且

。

条件解析与关系

有限测度（区分BCT与DCT关）：若测度无限→一致有界仍可失。反例：$\mathbb{R}$Lebesgue测度→$f_n(x)=(1/n)\chi_{[0,n]}$→逐点→0→$|f_n|\le 1$→但$\int f_n=1$≠$\int 0=0$→根测度无限。逐点收敛→基本前提→比一致收敛弱。一致有界→保函数序列不失控→∞。

vs DCT：BCT=DCT特例→令控制函数$g(x)=M$→$\int M d\mu=M\mu(X)<\infty$（因$\mu(X)<\infty$）→g可积→DCT条件满足。vs MCT：MCT要求非负单调增→不要求界/测度限→BCT不要求单调但要有界+测度限→不同场景。

应用例

$[0,1]$（测度1→有限）上$f_n(x)=nx/(1+n^2x^2)$→逐点：x=0→0；x∈(0,1]→$f_n=(x/n)/(1/n^2+x^2)$→分子→0,分母→$x^2>0$→f=0。一致有界：令$t=nx$→$|f_n|\le\max\{t/(1+t^2)\}=1/2$→M=1/2。BCT→$\lim\int_0^1 f_n=\int_0^1 0=0$→无需算复积分极限→判收敛有界→直得极限函数积分。