样本矩

样本矩 (Sample Moment)

样本矩→统计/计量基→从随机样本算出→作对应总体矩估计量→描分布特征→构样本均值/方差/偏度/峰度等。统计量→仅由样本定→不涉未参→矩估计法(MoM)核角色。

定义与分类

原点矩（绕零）：k阶$m'_k=(1/n)\sum X_i^k$。一阶→样本均值$\bar{X}$（$\mu$点估）；二阶→$m'_2$（样数平方均→与方差紧密）。

中心矩（绕$\bar{X}$）：k阶$m_k=(1/n)\sum(X_i-\bar{X})^k$。一阶恒零；二阶→有偏样本方差（估$\sigma^2$）→常用无偏$s^2=(1/(n-1))\sum(X_i-\bar{X})^2$（贝塞尔校正—分母n-1调自由度）；三阶→标化后=样本偏度（左/右偏）；四阶→标化=样本峰度（尖厚vs平薄vs正态）。

性质：一致性→大数定律→n→∞→原点矩$m'_k$→依概率→$\mu'_k$→中心同→一致估计。无偏→$\bar{X}$无偏→$E[m_2]=((n-1)/n)\sigma^2$有偏→渐无偏（n大偏小）→故推统计用$s^2$→$E[s^2]=\sigma^2$→高阶亦常有偏。

代数关系：$m_2=m'_2-(m'_1)^2$，$m_3=m'_3-3m'_1m'_2+2(m'_1)^3$→算原矩比中心直。

应用

①矩估计法→用样本矩代总体同阶→建立程→解未参→如Poisson→均值=方差=λ→令$\bar{X}=\lambda$得估。②描述统计→均/方差/偏/峰→共描中位、离散、对称、尾。③假设→Jarque-Bera基于样本偏+峰构建统量→检正态。④金融管险→资产收益非正态→三阶捕"不对称险"→四阶捕"极端险"—肥尾→VaR建模键。

例：{1,3,5,6,10}→n=5→$\bar{X}=m'_1=5$→$m'_2=34.2$→$m_2=(46/5)=9.2$（用关系$34.2-25=9.2$）→无偏$s^2=5/4\times9.2=11.5$。