矩估计法

矩估计法 (Method of Moments)

矩估计法(MME/MoM)由卡尔·皮尔逊提出，核心：利用样本矩去估计总体矩，通过等号联立求解未知参数。

原理与步骤

总体$r$阶原点矩 $\mu_r' = E(X^r)$（参数函数），总体$r$阶中心矩 $\mu_r = E[(X-\mu)^r]$。样本$r$阶原点矩 $m_r' = (1/n)\sum X_i^r$，样本$r$阶中心矩 $m_r = (1/n)\sum (X_i - \bar{X})^r$。

估计$k$个参数→令前$k$阶总体矩=对应样本矩→解方程组→得矩估计量 $\hat{\theta}_1, \dots, \hat{\theta}_k$。

示例

泊松分布 $\mathrm{Pois}(\lambda)$：$E(X)=\lambda$，令 $\lambda = \bar{X}$ → $\hat{\lambda}_{\mathrm{MME}} = \bar{X}$。

正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$：$\hat{\mu} = \bar{X}$，$\hat{\sigma}^2 = (1/n)\sum (X_i - \bar{X})^2$（注意此方差估计为有偏估计）。

伽玛分布 $\Gamma(\alpha, \beta)$：$\alpha/\beta = \bar{X}$，$\alpha(\alpha+1)/\beta^2 = m_2'$ → $\hat{\beta} = \bar{X}/(m_2' - \bar{X}^2) = \bar{X}/m_2$，$\hat{\alpha} = \hat{\beta}\bar{X}$。

性质与比较

一致性：由大数定律，矩估计量通常一致。渐近正态性：大样本下抽样分布近似正态（假设检验和置信区间基础）。不保证无偏（$\hat{\sigma}^2_{\mathrm{MME}}$有偏）。通常不是最有效（最大似然估计法MLE方差更小）。

矩估计法 vs MLE：矩估计计算简单常有解析解；MLE渐近有效但常需数值优化。矩估计法是广义矩估计法(GMM)的基石，也是快速初步估计的有力工具。