正交多项式

正交多项式 (Orthogonal Polynomials)

正交多项式→函数空间中关于内积互相正交的多项式序列$\{P_n(x)\}_{n=0}^\infty$（$\deg P_n=n$）。给定权函数$w(x)>0$与区间$I$→内积定义$\langle f,g\rangle=\int_I f(x)g(x)w(x)dx$→正交性：$\langle P_m,P_n\rangle=0\;(m\neq n)$。核心应用→数值积分（高斯求积）、逼近论、计量经济学非参估计、微分方程求解。

经典正交多项式族

Legendre多项式：$w(x)=1,\;I=[-1,1]$→Rodrigues公式$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$→最小二乘逼近自然基。Chebyshev多项式（第一类）：$w(x)=1/\sqrt{1-x^2},\;I=[-1,1]$→$T_n(x)=\cos(n\arccos x)$→极小化最大误差(Chebyshev交错定理)→谱方法首选。Hermite多项式：$w(x)=e^{-x^2},\;I=(-\infty,\infty)$→量子谐振子本征函数→统计中Edgeworth展开用。Laguerre多项式：$w(x)=e^{-x},\;I=[0,\infty)$→氢原子径向方程→Gamma分布相关展开。

三项递推与零点性质

所有正交多项式满足三项递推：$P_{n+1}(x)=(A_n x+B_n)P_n(x)-C_n P_{n-1}(x)$→系数由内积确定→高效计算无需显式。零点性质：$P_n(x)$的$n$个零点均在$I$内部、互异实数、与$P_{n-1}$零点交错→这是高斯求积的理论基石→以零点为节点可精确积$\le 2n-1$次多项式→收敛速度指数级。

计量经济学应用

级数估计（Series Estimation）：非参回归$Y=g(X)+\varepsilon$→用正交多项式基展开$g(x)\approx\sum_{j=0}^J\beta_j P_j(x)$→正交性使设计矩阵接近对角→避免多重共线性→优于普通多项式回归。Sieve估计：$J=J(n)$随样本增长→平衡偏差-方差。Newey(1997)用Hermite级数估Engel曲线→正交性简化渐近协方差推导。半参：部分线性模型中用正交多项式逼近非参分量→保证$\sqrt{n}$-致性。

记忆：正交核心→“投影”：$P_n$是$x^n$对$\mathrm{span}\{1,x,\dots,x^{n-1}\}$的正交补→Gram-Schmidt应用于单项式基$\{1,x,x^2,\dots\}$即得正交序列。高斯求积→$n$点精确积$2n-1$次→最高效数值积分→根源即正交多项式零点分布。