Gamma分布

Gamma分布 (Gamma Distribution)

Gamma分布是概率论与统计学中的核心连续概率分布族，由形状参数$\alpha>0$和尺度参数$\theta>0$（或率参数$\beta=1/\theta$）决定。它是指数分布和卡方分布的自然推广，在贝叶斯统计中作为共轭先验、在可靠性工程中建模寿命数据、在排队论中描述等待时间，应用极为广泛。

定义与参数化

设$X\sim\text{Gamma}(\alpha,\beta)$，其概率密度函数为：

其中$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$为Gamma函数，正整数$n$处$\Gamma(n)=(n-1)!$。等价地用尺度参数$\theta=1/\beta$表达。形状参数$\alpha$控制形态：$0<\alpha<1$时密度在$x=0$处发散并单调递减；$\alpha=1$退化为指数分布；$\alpha>1$呈单峰，众数为$(\alpha-1)/\beta$；$\alpha$增大趋近正态分布。

矩与性质

矩母函数：$M(t)=(1-t/\beta)^{-\alpha},\;t<\beta$。关键数字特征：

累积分布函数为$F(x)=\gamma(\alpha,\beta x)/\Gamma(\alpha)$（$\gamma$为下不完全Gamma函数），无闭式解。Gamma分布具有可加性：若独立$X_i\sim\text{Gamma}(\alpha_i,\beta)$（同率参数），则$\sum X_i\sim\text{Gamma}(\sum\alpha_i,\beta)$。

与其他分布的关系

指数分布：$\text{Gamma}(1,\beta)=\text{Exp}(\beta)$。$k$个i.i.d.指数变量之和$\sim\text{Gamma}(k,\beta)$，即Erlang分布——描述了泊松过程第$k$次事件到达的等待时间。

卡方分布：$\text{Gamma}(k/2,1/2)=\chi^2(k)$。若$Z_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,1)$则$\sum Z_i^2\sim\chi^2(k)$。这是正态分布抽样理论的基石。若独立$X\sim\text{Gamma}(\alpha_1,\beta),Y\sim\text{Gamma}(\alpha_2,\beta)$，则$X/(X+Y)\sim\text{Beta}(\alpha_1,\alpha_2)$，用于Dirichlet分布的构造。

贝叶斯共轭先验

Gamma分布是贝叶斯分析的核心共轭族：泊松率参数先验$\lambda\sim\text{Gamma}(\alpha,\beta)$结合数据$X_i\sim\text{Poisson}(\lambda)$得后验$\text{Gamma}(\alpha+\sum X_i,\beta+n)$；指数率参数类似得$\text{Gamma}(\alpha+n,\beta+\sum X_i)$；正态精度$\tau=1/\sigma^2$取Gamma先验，后验亦为Gamma，构成正态-伽马共轭体系。$\alpha,\beta\to0$对应Jeffreys先验。

参数估计

给定i.i.d.样本，矩估计得初值$\tilde{\alpha}=\bar{X}^2/s^2,\;\tilde{\beta}=\bar{X}/s^2$。最大似然估计：$\hat{\beta}=\hat{\alpha}/\bar{X}$代入对数似然后对$\alpha$做Newton-Raphson迭代，涉及digamma函数$\psi(\alpha)=d\log\Gamma/d\alpha$。贝叶斯估计需MCMC（如Metropolis-Hastings）。

应用

排队论中服务时间常以Gamma建模（整数$\alpha$对应Erlang阶段服务）；可靠性工程作为寿命分布；精算学用于索赔额建模；金融随机波动率中波动率倒数常取Gamma分布以刻画波动聚集与厚尾。