正定

正定 (Positive Definiteness)

正定是线性代数中关于矩阵和二次型的核心性质。一个实对称矩阵被称为正定矩阵 (Positive Definite Matrix)，当且仅当它所对应的二次型对于任意非零向量都取正值。正定性在最优化理论、计量经济学和统计学习中扮演着关键角色：它保证了目标函数的凸性、协方差矩阵的有效性以及最优化问题二阶条件的成立。

定义

设 $A$ 为 $n \times n$ 实对称矩阵，$x \in \mathbb{R}^n$ 为非零列向量。$A$ 是正定矩阵当且仅当：

若将严格大于号换为大于等于号 ($x^T A x \geq 0$），则 $A$ 称为半正定矩阵 (Positive Semidefinite)。对称性通常是隐含条件——非对称矩阵可以通过 $\frac{A + A^T}{2}$ 转化为对称形式，因为只有对称部分影响二次型的值：

判别方法

正定性的判别有多个等价条件。对于实对称矩阵 $A$，以下命题等价：

1. $A$ 是正定矩阵。
2. $A$ 的所有特征值均为正数：$\lambda_i > 0, \forall i$。
3. $A$ 的所有顺序主子式 (Leading Principal Minors) 均大于零，即对 $k = 1, 2, \dots, n$，有 $\det(A_k) > 0$，其中 $A_k$ 是 $A$ 的前 $k$ 行 $k$ 列构成的子矩阵。此即西尔维斯特准则 (Sylvester's Criterion)。
4. 存在列满秩矩阵 $B$ 使得 $A = B^T B$，等价于 $A$ 可以进行楚列斯基分解 $A = LL^T$，其中 $L$ 为对角元全正的下三角矩阵。
5. $A$ 的主元 (Pivots，经高斯消元后对角元) 全为正数。

例如，矩阵

其特征值为 $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1 > 0$，顺序主子式 $\det(A_1) = 2 > 0$，$\det(A_2) = 4 - 1 = 3 > 0$，故为正定。

几何意义

正定二次型 $x^T A x = c$ ($c > 0$) 在 $\mathbb{R}^n$ 中定义了一个椭球。矩阵 $A$ 的特征向量决定了椭球的主轴方向，特征值的倒数平方根决定了各主轴的长度。这一几何解释在马氏距离 (Mahalanobis Distance) 和高斯分布的等概率密度面上有直接应用：多元正态分布 $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ 的概率密度函数中，二次型 $(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu)$ 定义了以 $\mu$ 为中心的椭球等值面，而协方差矩阵 $\Sigma$ 必须正定以保证密度函数处处有定义且整体积分为 1。

经济学与统计学中的应用

最优化中的二阶条件。在无约束最优化问题 $\min_x f(x)$ 中，设梯度 $\nabla f(x^*) = 0$。若海塞矩阵 $\nabla^2 f(x^*)$ 是正定矩阵，则 $x^*$ 为严格的局部极小点；若半正定，则为必要二阶条件。在凸优化中，目标函数 $f$ 是凸函数的充要条件是其海塞矩阵处处半正定。

计量经济学中的协方差矩阵。在广义最小二乘法 (GLS) 和广义矩估计 (GMM) 中，权重矩阵 $W$ 必须为正定矩阵以确保估计量具有良好的统计性质。若误差项的协方差矩阵 $\Omega$ 不是正定的，则模型设定存在根本问题（如线性相关的扰动项）。

投入产出分析。里昂惕夫逆矩阵 $(I - A)^{-1}$ 的存在性和非负性依赖于技术系数矩阵 $A$ 满足霍金斯-西蒙条件 (Hawkins-Simon Condition)，该条件等价于 $I - A$ 的各顺序主子式为正——正是正定性的西尔维斯特条件的变形。

资产定价与投资组合。在均值-方差优化中，$n$ 个风险资产的协方差矩阵 $\Sigma$ 必须正定。若存在冗余资产（可由其他资产线性组合完全复制），则 $\Sigma$ 仅为半正定、不可逆，无法唯一求解最优权重 $w^* = \frac{\Sigma^{-1} \mu}{1^T \Sigma^{-1} \mu}$。

相关概念辨析

• 负定矩阵：$x^T A x < 0$ 对所有 $x \neq 0$ 成立，等价于 $-A$ 正定。在经济优化中对应目标函数的严格凹性和极大点的二阶充分条件。
• 不定矩阵：二次型取值有正有负。在海塞矩阵的语境下对应鞍点。
• 对角占优：若对称矩阵每个对角元的绝对值大于其所在行非对角元绝对值之和，且所有对角元为正，则该矩阵正定。这是西尔维斯特准则以外的一种实用判定方法。

正定矩阵将线性代数中"正数"的概念推广到了矩阵空间。从数值算法的楚列斯基分解到计量经济学的协方差建模，再到机器学习中的核方法（核矩阵必须半正定），正定性构成了定量社会科学中不可或缺的数学基石。