正定二次型

定义

设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 维向量空间， $Q: V \to \mathbb{R}$ 是一个二次型。若对任意非零向量 $\mathbf{x} \in V\setminus\{\mathbf{0}\}$ ，恒有 $Q(\mathbf{x}) > 0$ ，则称 $Q$ 是正定二次型（positive definite quadratic form）。

在标准基下，二次型可唯一地表示为

Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j,

其中 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，称为该二次型的矩阵。此时 $Q$ 正定当且仅当 $A$ 是正定矩阵（positive definite matrix），即 $A$ 的所有特征值均为正数。几何上，正定二次型 $Q(\mathbf{x}) = c$ （ $c > 0$ ）表示 $\mathbb{R}^n$ 中的一个椭球面，其中心位于原点。

历史背景

正定二次型的概念最早由 Gauss 在数论研究中提出，用于讨论二元二次型的分类问题。随后 Jacobi、Sylvester 等人将其发展为线性代数的重要分支。Sylvester 于 1852 年提出了著名的惯性定律，揭示了实二次型在合同变换下的不变量——正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数，为正定性的判定奠定了理论基础。

正定性的判别准则

1. 顺序主子式判别法（Sylvester 准则）

实二次型 $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{x}$ 正定的充要条件是 $A$ 的各阶顺序主子式（leading principal minors）全部大于零：

\Delta_1 = a_{11} > 0,\quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0,\quad

\ldots,\quad

\Delta_n = \det A > 0.

这是判断正定性最经典、最常用的代数方法。以二阶情况为例，二次型 $Q(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$ 正定的充要条件是 $a > 0$ 且 $ac - b^2 > 0$ ，这正是解析几何中判别椭圆的条件。

2. 特征值判别法

$Q$ 正定当且仅当对称矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 均为正数。这一判别法在理论分析中尤为重要，它揭示了正定性的内在几何意义：二次型 $Q$ 的等值面 $Q(\mathbf{x}) = c$ （ $c > 0$ ）是 $\mathbb{R}^n$ 中的椭球面，各主轴方向由特征向量决定，主轴长度由特征值的倒数 $\sqrt{c/\lambda_i}$ 决定。

3. 合同变换法

若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{\mathsf{T}} A P = I_n$ （单位矩阵），则 $A$ 正定。换言之，正定矩阵与单位矩阵合同。通过 Lagrange 配方法或 LDL 分解可将二次型化为标准形：

Q(\mathbf{x}) = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2,

其中 $\mathbf{y} = P^{-1}\mathbf{x}$ 。配方法的基本思路是逐步提取完全平方项，每次消去一个变量，最终将二次型化为平方和的形式。

4. Cholesky 分解

对称矩阵 $A$ 正定当且仅当存在唯一的实可逆下三角矩阵 $L$ （对角线元素为正）使得 $A = L L^{\mathsf{T}}$ 。这一分解称为 Cholesky 分解，在数值计算中广泛用于求解正定线性方程组。与 LU 分解相比，Cholesky 分解的计算量约减半，且数值稳定性更好。具体算法如下：对 $j = 1, 2, \ldots, n$ ，计算

l_{jj} = \sqrt{a_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{jk}^2},\qquad l_{ij} = \frac{1}{l_{jj}}\left(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} l_{jk}\right),\quad i > j.

5. 主子式判别法

除顺序主子式外，正定矩阵的所有主子式（principal minors）也都大于零。所谓主子式，是指行指标集与列指标集相同的子式。这一条件实际上与顺序主子式条件等价，但有时在理论推导中更为方便。

基本性质

设 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，则有以下性质：

加法封闭性： $A + B$ 也是正定矩阵。
数乘封闭性：对任意正实数 $k > 0$ ， $kA$ 是正定矩阵。
逆矩阵正定： $A^{-1}$ 存在且正定。
合同不变性：若 $P$ 可逆，则 $P^{\mathsf{T}} A P$ 也正定。
对角元为正： $a_{ii} > 0$ （ $i = 1, 2, \ldots, n$ ）。
行列式为正： $\det A > 0$ 。
可对角化：存在正交矩阵 $U$ 使得 $U^{\mathsf{T}} A U = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ ，其中 $\lambda_i > 0$ 。
平方根存在：存在唯一的正定矩阵 $R$ 使得 $R^2 = A$ ，记作 $R = A^{1/2}$ 。

与其他定号类型的关系

与正定性相对应，还有以下几种重要的定号类型：

负定二次型（negative definite）：对任意非零 $\mathbf{x}$ ， $Q(\mathbf{x}) < 0$ ，等价于 $A$ 的所有特征值为负，也等价于 $(-1)^k \Delta_k > 0$ （ $k = 1, 2, \ldots, n$ ）。
半正定二次型（positive semidefinite）： $Q(\mathbf{x}) \ge 0$ ，且存在非零向量使等号成立；等价于 $A$ 的特征值均非负。半正定的顺序主子式条件为所有主子式 $\ge 0$ 。
半负定二次型（negative semidefinite）： $Q(\mathbf{x}) \le 0$ ，且存在非零向量使等号成立。
不定二次型（indefinite）： $Q(\mathbf{x})$ 既可取正值也可取负值，此时 $A$ 既有正特征值也有负特征值。

Sylvester 惯性定理指出，实二次型 $Q$ 在合同变换下的正惯性指数 $p$ （正特征值个数）、负惯性指数 $q$ （负特征值个数）和零惯性指数 $r$ （零特征值个数）是唯一确定的，且 $p + q + r = n$ 。正定即 $p = n$ 、 $q = 0$ ；半正定即 $q = 0$ 。

应用举例

多元函数极值

设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是二阶连续可微函数， $\mathbf{x}_0$ 是其驻点，即 $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$ 。将 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 处 Taylor 展开到二阶：

f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \frac12 \mathbf{h}^{\mathsf{T}} H(\mathbf{x}_0) \mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2),

其中 $H(\mathbf{x}_0)$ 是 Hessian 矩阵。若 $H(\mathbf{x}_0)$ 正定，则 $f$ 在 $\mathbf{x}_0$ 处取严格局部极小值；若 $H(\mathbf{x}_0)$ 负定，则取严格局部极大值；若 $H(\mathbf{x}_0)$ 不定，则为鞍点。

最优化方法

在凸优化中，若目标函数 $f$ 的 Hessian 矩阵处处正定，则 $f$ 是严格凸函数。强凸性（strong convexity）即 Hessian 矩阵的最小特征值一致大于某个正数 $\mu > 0$ ，它保证了梯度下降法等一阶迭代算法的线性收敛速度，且收敛率与条件数 $\kappa = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ 有关。牛顿法利用 Hessian 矩阵的正定性构造 Newton 方向 $\mathbf{d} = -H^{-1}\nabla f$ ，在正定条件下该方向是下降方向。

内积与度量

正定二次型与内积有着天然的联系： $\mathbb{R}^n$ 上的标准内积 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \mathbf{y}$ 诱导出二次型 $Q(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|^2$ 。更一般地，任意正定矩阵 $A$ 定义了 $\mathbb{R}^n$ 上的一个内积 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle_A = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} A \mathbf{y}$ ，从而给出了一个新的度量结构。这正是 Riemann 几何中度量张量的线性代数基础——Riemann 度量在每一点可视为切空间上的一个正定二次型。

概率统计与机器学习

协方差矩阵 $\Sigma$ 是半正定矩阵。在多维正态分布 $N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ 中，若 $\Sigma$ 正定，则分布有密度函数

f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(\det\Sigma)^{1/2}} \exp\!\left(-\frac12 (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}} \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right),

等密度面为椭球面，其形状由 $\Sigma$ 的特征值分解决定。主成分分析（PCA）本质上是对协方差矩阵进行特征值分解，各主成分的方差即对应特征值。在核方法中，核矩阵（Gram 矩阵）的正定性保证了 Mercer 定理成立，从而保证核函数的合法性。

数值线性代数

在有限元方法和偏微分方程数值解中，刚度矩阵通常是正定矩阵，这保证了离散系统的解存在唯一且可用共轭梯度法（CG）高效求解。CG 法是求解大型稀疏正定线性方程组最有效的迭代方法之一，其收敛速度依赖于系数矩阵的条件数。

参考文献

Horn, R. A., \& Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
张恭庆, 林源渠. (2005). 泛函分析讲义 (上册). 北京大学出版社.
Boyd, S., \& Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
Golub, G. H., \& Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.

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