比率参数的假设检验

比率参数的假设检验

比率参数假设检验利用样本数据对总体中某特征比率$p$的声明/假设评估决策。例：候选人支持率>50\%？新药治愈率>70\%？产线次品率=2\%？点估计$\hat{p}=x/n$→基于抽样分布判断。

设$H_0:p=p_0$（基准设）vs$H_1$：双尾$p\neq p_0$/右尾$p>p_0$/左尾$p<p_0$。逻辑：先设$H_0$真→评估在此下观测样本或更极端结果概率→若极小→拒$H_0$→支持$H_1$。

Z检验理论基础与步骤

中心极限定理推论→条件满时$\hat{p}$抽样分布≈正态→Z检验。条件：简单随机抽样；独立性（不放回$n\le0.10N$）；大样本计数$np_0\ge10$且$n(1-p_0)\ge10$（用$p_0$非$\hat{p}$→因检验在$H_0$真下进行）。

满条件→$\hat{p}$均=$p_0$→标准误$\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$。

五步：①设$H_0,H_1$。②设显著性水平$\alpha$（通常0.05）→查条件。③算$Z=(\hat{p}-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$→标准正态。④决策：p值法→右尾$P(Z\ge Z_{calc})$/左尾$P(Z\le Z_{calc})$/双尾$2P(Z\ge|Z_{calc}|)$→p≤α拒$H_0$；临界值法→α=0.05→右尾1.645/左尾-1.645/双尾±1.96→Z落拒绝域拒$H_0$。⑤结论：用非技术语结合背景述→有/无足够证据支持$H_1$（未拒$H_0$≠$H_0$真→仅证据不足推翻）。

示例：n=400，252支持，$H_0:p=0.60$vs$H_1:p>0.60$。$\hat{p}=0.63$→$Z=(0.63-0.60)/\sqrt{0.60×0.40/400}=0.03/0.0245≈1.225$。右尾p值=$P(Z\ge1.225)≈0.1103>0.05$→未能拒$H_0$→在5\%水平无足够证据支持"超过60\%"→样本63\%高于60\%但差异可能仅抽样变异所致。

与置信区间关系

双尾$(1-\alpha)$置信区间含在$\alpha$下不能拒的所有$p_0$值→若$p_0$不在p的CI内→双尾拒$H_0$。注意：CI标准误用$\hat{p}$（$SE=\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$）→Z检用$p_0$→临界情况可有微小差→实践中一般一致。