相合估计量

相合估计量 (Consistent Estimator)

相合估计量=一致估计量→数理统计/计量/估计理论核心大样本性质→样本量无穷→依概率收敛于真参数。定义：$\forall\epsilon>0$→$\lim_{n\to\infty}P(|\hat{\theta}_n-\theta|<\epsilon)=1$→记$\hat{\theta}_n\xrightarrow{p}\theta$。强相合：以概率1收敛→$P(\lim\hat{\theta}_n=\theta)=1$→经济金融默认弱。

vs无偏性与充分条件

无偏vs相合：无偏=有限样本性质（$E(\hat{\theta}_n)=\theta$对所有n）→不保位单次精确；相合=渐近性质→样↑分布质集真值附近→似"针尖"。关：无偏不一定相合；相合不一定无偏（有偏但偏消+方差近零→相合）。

充分条件（基于均方误差）：①渐近无偏→$\lim E(\hat{\theta}_n)=\theta$（偏近零）；②方差趋零→$\lim\mathrm{Var}(\hat{\theta}_n)=0$。切比雪夫推→$P(|\hat{\theta}_n-\theta|\ge\epsilon)\le(Var+Bias^2)/\epsilon^2$→若Var+Bias²→0→右→0→相合。

连续映射→不变性：$g$连→$\hat{\theta}_n\xrightarrow{p}\theta\Rightarrow g(\hat{\theta}_n)\xrightarrow{p}g(\theta)$→无偏不具。例：$S^2$无偏但$S=\sqrt{S^2}$通常非无偏→但$S^2$相合→$S$亦相合。

经典例

①样本均值$\bar{X}_n$→大数定律→$\bar{X}_n\xrightarrow{p}\mu$→或用充条$E(\bar{X}_n)=\mu,Var=\sigma^2/n\to0$。②正态方差：无偏$S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$；MLE$\hat{\sigma}^2_{ML}=\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar{X})^2$→$E(\hat{\sigma}^2_{ML})=\frac{n-1}{n}\sigma^2$有偏（低估）→但$n\to\infty$偏消→方差$O(1/n)$近零→有偏但相合→大数据下分母n或n-1差异微→相合保证殊途同归。