矩估计

矩估计 (Method of Moments)

矩估计法(MME/MoM)由卡尔·皮尔逊1894年提出——用样本矩估计总体相应矩，反解未知参数。哲学：样本来自总体→样本矩应接近总体矩（合理性由大数定律保证：样本矩依概率收敛于总体矩）。

核心原理

总体k阶原点矩 $\mu'_k = E[X^k]$（参数函数）；总体k阶中心矩 $\mu_k = E[(X-\mu)^k]$（二阶=方差）。样本k阶原点矩 $m'_k = (1/n)\sum X_i^k$；样本k阶中心矩 $m_k = (1/n)\sum (X_i-\bar{X})^k$。方法：要估m个参数→设m个方程 $\mu'_k = m'_k$（k=1,...,m）→解方程组。

步骤与示例

步骤：确定分布和参数数→算总体前m阶矩（参数函数）→算对应样本矩→令相等建方程组→解。

例1正态$N(\mu,\sigma^2)$：$\mu=\bar{X}$；$\sigma^2+\mu^2=(1/n)\sum X_i^2$→$\hat{\mu}=\bar{X}$，$\hat{\sigma}^2 = (1/n)\sum(X_i-\bar{X})^2$（有偏，无偏分母n-1）。

例2伽玛$Gamma(\alpha,\beta)$，$E[X]=\alpha/\beta$，$Var(X)=\alpha/\beta^2$→$\hat{\beta}=\bar{X}/((1/n)\sum(X_i-\bar{X})^2)$，$\hat{\alpha}=\hat{\beta}\bar{X}$。

性质

相合性（最重要→n大到极限收敛于真值）。渐近正态（大样本可构建置信区间和假设检验）。通常有偏（如正态方差矩估期望$\frac{n-1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2$）。通常非最有效（方差大于MLE→无法达克拉默-拉奥下界）。满足不变性原理（连续函数变换后仍为矩估计）。

优点：简单直观易算、不求分布完整形式（矩存即可→无需PDF/PMF精确形式）、常作MLE迭代初值。缺点：效率较低、可能有偏、可能无解/解不合法。