等比数列

等比数列 (Geometric Sequence)

等比数列（Geometric Sequence 或 Geometric Progression）是指从第二项起，每一项与前一项的比值恒为常数的数列。这个常数称为公比（common ratio），通常记作 $q$ 或 $r$。等比数列是数学中最基本的数列类型之一，在经济学中有着广泛而深刻的应用，从复利计算到资产定价，从经济增长模型到乘数效应分析，无不依赖于等比数列及其求和理论。

定义与通项公式

设首项为 $a_1 = a$，公比为 $q$（$q \neq 0$），则等比数列的通项公式为：

数列的前几项为：$a, aq, aq^2, aq^3, \ldots$

当 $|q| > 1$ 时，数列各项的绝对值递增，呈发散趋势；当 $0 < |q| < 1$ 时，绝对值递减，收敛于零；当 $q = 1$ 时，为常数列；当 $q = -1$ 时，数列在 $a$ 与 $-a$ 之间交替摆动。

前 $n$ 项求和公式

等比数列前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式为：

推导过程：记 $S_n = a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1}$，两边同乘 $q$ 得 $qS_n = aq + aq^2 + \cdots + aq^n$，两式相减即得 $(1-q)S_n = a(1-q^n)$，整理即得上述公式。

当 $q = 1$ 时，$S_n = na$。

无穷等比级数

当 $|q| < 1$ 时，无穷等比级数收敛，其和为：

这一公式在经济学中具有基石性地位——它是永续年金定价、乘数效应收敛值以及稳态分析的核心数学工具。

经济学应用

复利与贴现

若本金为 $P$，年利率为 $r$，按复利计息 $n$ 年后的终值为 $F = P(1+r)^n$。这正是首项为 $P$、公比为 $(1+r)$ 的等比数列的第 $n+1$ 项。反过来，将未来现金流折算为现值时，第 $t$ 期的贴现因子为 $\frac{1}{(1+r)^t}$，构成了公比为 $\frac{1}{1+r}$ 的等比数列。这一框架是整个资产定价理论和资本预算的数学基础。

永续年金与永续增长模型

永续年金（perpetuity）每期支付固定金额 $C$，其现值为无穷等比级数之和：

进一步，戈登增长模型（Gordon Growth Model）考虑每期股利以恒定速率 $g$ 增长，即 $D_t = D_1(1+g)^{t-1}$，则股票的内在价值为：

这是两个等比数列（分子增长因子 $1+g$ 与分母贴现因子 $1+r$）复合后求和的经典结果。

乘数效应

在凯恩斯宏观经济学中，政府支出增加 $\Delta G$ 会引发多轮收入与消费循环。若边际消费倾向为 $c$（$0 < c < 1$），则总收入增量为：

这正是一个首项为 $\Delta G$、公比为 $c$ 的无穷等比级数。乘数 $k = \frac{1}{1-c}$ 的大小取决于边际消费倾向。

经济增长

索洛增长模型和大量实证研究表明，经济体在长期中倾向于以大致恒定的速率增长。若初始 GDP 为 $Y_0$，年增长率为 $g$，则第 $t$ 年的 GDP 为 $Y_t = Y_0(1+g)^t$，构成等比数列。72法则——翻倍年数约等于 $72 / (100g)$——正是基于等比数列指数增长性质的近似估算。

折旧与资本存量

在会计和宏观经济学中，资产按固定折旧率 $\delta$ 计提折旧时，初始价值 $K_0$ 的资产在第 $t$ 年末的账面净值为 $K_t = K_0(1-\delta)^t$（余额递减法），这也是等比数列的直接体现。

关键性质总结

等比数列之所以在经济学中无处不在，根源在于其刻画了恒定增长率这一核心经济直觉——无论是资本的复利积累、现金流的贴现衰减，还是经济的指数增长，本质都是等比结构。掌握等比数列的通项与求和，就掌握了理解这些经济现象的数学钥匙。