自回归滑动平均

自回归滑动平均模型 (ARMA)

自回归滑动平均模型 (Autoregressive Moving Average, ARMA) 是时间序列分析的核心计量经济学工具→由Box-Jenkins方法论系统化。ARMA$(p,q)$将自回归(AR)与滑动平均(MA)结合→统一描述平稳时间序列的数据生成过程(DGP)。

模型结构

AR$(p)$：当前值 $y_t$ 为其 $p$ 阶滞后值的线性函数加白噪声 $\varepsilon_t$：

MA$(q)$：当前值为当前与过去 $q$ 期随机冲击的加权和：

ARMA$(p,q)$合并二者：

其中 $\varepsilon_t \sim WN(0,\sigma^2)$。引入滞后算子 $L$：$\phi(L)y_t = c + \theta(L)\varepsilon_t$→$\phi(L)=1-\phi_1 L-\cdots-\phi_p L^p$，$\theta(L)=1+\theta_1 L+\cdots+\theta_q L^q$。

统计性质与识别

平稳性：AR部分特征方程 $\phi(z)=0$ 的根全在单位圆外→过程协方差平稳。MA部分天然平稳但需可逆性→$\theta(z)=0$ 根在单位圆外→保证MA可表为AR$(\infty)$→参数唯一。

ACF与PACF：识别$p,q$的核心工具。AR$(p)$：ACF拖尾（指数/正弦衰减），PACF截尾于滞后 $p$。MA$(q)$：ACF截尾于滞后 $q$，PACF拖尾。ARMA$(p,q)$：两者皆拖尾→需信息准则(AIC/BIC)辅助选阶。

Box-Jenkins建模流程

三阶段迭代：①识别→ACF/PACF图初步选 $(p,q)$，检验平稳性（单位根检验）→非平稳先差分至ARIMA；②估计→极大似然(MLE)或条件最小二乘估计参数；③诊断→残差应为白噪声（Ljung-Box检验不显著），参数显著（t检验），模型简约（信息准则最小）。

经济学应用

ARMA是宏观经济预测基线工具→GDP增速、通货膨胀率、失业率等。以菲利普斯曲线短期预测为例→ARMA捕捉通胀惯性（AR项）与供给冲击传导（MA项）。有效市场假说下资产收益率近似鞅差分→ARMA拟合不可预测成分→检验市场效率。局限：仅适用于单变量平稳序列→扩展方向→ARIMA（差分非平稳）、SARIMA（季节）、ARIMAX（外生变量）、VAR（多变量）、GARCH（异方差）。

基本思想：任一平稳过程可由充分阶数ARMA$(p,q)$任意逼近（Wold分解）→理论完备→实践简约优于复杂→预测界"少即是多"准则典范。