舒尔补

舒尔补 (Schur Complement)

舒尔补（Schur Complement）是线性代数和矩阵分析中的一个核心概念，由德国数学家 Issai Schur 提出。对于分块矩阵，舒尔补提供了对某个子块"消除"其余部分后的矩阵表示，在高斯消元、矩阵求逆、优化理论和概率统计中均有广泛应用。

定义与构造

设分块矩阵

其中 $A$ 为 $p \times p$ 可逆方阵，$B$ 为 $p \times q$，$C$ 为 $q \times p$，$D$ 为 $q \times q$。

$A$ 的舒尔补（即对块 $D$ 消除 $A$ 后得到的矩阵）定义为：

该矩阵的阶数与 $D$ 相同（$q \times q$）。

对称地，若 $D$ 可逆，$D$ 的舒尔补定义为：

核心性质

行列式公式：若 $A$ 可逆，则

这一公式将大矩阵的行列式分解为子块行列式的乘积，在理论推导中极为有用。

逆矩阵公式：若 $A$ 和 $M/A$ 均可逆，则 $M$ 可逆且

该公式将大矩阵求逆转化为较小的子块求逆，是计算分块矩阵逆的经典工具。

正定性：若 $M$ 为对称矩阵，则 $M$ 正定当且仅当 $A$ 正定且 $M/A$ 正定。这一性质在凸优化和数值优化中用于验证矩阵的正定性。

高斯消元解释：对 $M$ 进行分块高斯消元，将第二行块消去 $C$ 时，$D$ 位置被替换为 $D - CA^{-1}B$，这正是舒尔补。因此舒尔补本质上就是分块消元后的剩余矩阵。

应用

在多元正态分布中，舒尔补直接给出条件分布的参数。设 $(X, Y)$ 服从联合正态分布，协方差矩阵为 $\Sigma$，则 $X \mid Y$ 的条件协方差矩阵恰为 $\Sigma_{XX}$ 的舒尔补：$\operatorname{Var}(X \mid Y) = \Sigma_{XX} - \Sigma_{XY}\Sigma_{YY}^{-1}\Sigma_{YX}$。

在混合线性模型和限制最大似然估计（REML）中，舒尔补用于消除固定效应以获得简化似然函数。在高斯过程回归中，舒尔补是高效计算预测分布的数学基础。在拟牛顿法（如 BFGS）和内点法中，舒尔补用于降维求解大规模线性方程组。

舒尔补还广泛用于线性矩阵不等式（LMI）控制理论中，以及稀疏矩阵的直接求解器中，是连接线性代数与数值计算的关键概念。