多元正态分布

多元正态分布 (MVN)

多元正态分布是单变量正态分布在多维空间的推广，描述多个连续随机变量联合概率行为。$\mathbf{X}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$，PDF：

参数：均值向量 $\boldsymbol{\mu}=E[\mathbf{X}]$（n维列向量→中心）；协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 对称+正定（对角线$\Sigma_{ii}=\sigma_i^2$方差，非对角协方差）。指数部分为平方马氏距离。

核心性质

线性变换封闭：$\mathbf{X}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$→$\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{b}\sim\mathcal{N}(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}, \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T)$（投资组合收益即资产收益的线性组合→重要）。边缘分布：任何子集仍正态（$\mathbf{X}_a\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_a,\boldsymbol{\Sigma}_{aa})$；每单独分量$X_i\sim\mathcal{N}(\mu_i,\Sigma_{ii})$）。条件分布给定子集值仍正态：$\mathbf{X}_a\mid\mathbf{X}_b\sim\mathcal{N}(\bar{\boldsymbol{\mu}},\bar{\boldsymbol{\Sigma}})$（$\bar{\boldsymbol{\mu}}=\boldsymbol{\mu}_a+\boldsymbol{\Sigma}_{ab}\boldsymbol{\Sigma}_{bb}^{-1}(\mathbf{x}_b-\boldsymbol{\mu}_b)$）→线性回归+贝叶斯推断理论基础。不相关=独立（一般分布不满足，MVN特有）。

二元特例与应用

二元正态（n=2）：$\boldsymbol{\Sigma}=[\sigma_1^2,\rho\sigma_1\sigma_2; \rho\sigma_1\sigma_2,\sigma_2^2]$。$\rho=0$椭圆无倾斜（独立）；$\rho>0$正斜率；$\rho<0$负斜率。等高线为椭球（由特征向量（主轴方向）和特征值（轴长）决定）。

应用：投资组合理论（马科维茨→资产收益率MVN假设→均值方差优化；VaR计算）。线性回归（$\epsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I)$→假设检验/CI基础）。线性判别分析(LDA)（各类数据点假设同协方差异均值的MVN）。

局限：金融数据肥尾（极端事件频率>正态预测）、偏度（实际不对称）、仅捕捉线性相关。扩展：多元t分布、Copula。