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多元正态分布

多元正态分布 (MVN) 多元正态分布是单变量正态分布在多维空间的推广，描述多个连续随机变量联合概率行为。 X N( , )，PDF： 参数：均值向量 =E[ X]（n维列向量→中心）；协方差矩阵 对称+正定（对角线 _ii= _i^2方差，非对角协方差）。指数部分为平方马氏距离。 核心性质 线性变换封闭： X N( , )→ Y= A X+ b N( A

浏览 58 更新 2025-10-26

多元正态分布 (MVN)

多元正态分布是单变量正态分布在多维空间的推广，描述多个连续随机变量联合概率行为。X∼N(μ,Σ)\mathbf{X}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})，PDF：

f(x)=1(2π)n/2∣Σ∣1/2exp⁡(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)

参数：均值向量 μ=E[X]\boldsymbol{\mu}=E[\mathbf{X}]（n维列向量→中心）；协方差矩阵 Σ\boldsymbol{\Sigma} 对称+正定（对角线Σii=σi2\Sigma_{ii}=\sigma_i^2方差，非对角协方差）。指数部分为平方马氏距离。

核心性质

线性变换封闭：X∼N(μ,Σ)\mathbf{X}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})→Y=AX+b∼N(Aμ+b,AΣAT)\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{b}\sim\mathcal{N}(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}, \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T)（投资组合收益即资产收益的线性组合→重要）。边缘分布：任何子集仍正态（Xa∼N(μa,Σaa)\mathbf{X}_a\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_a,\boldsymbol{\Sigma}_{aa})；每单独分量Xi∼N(μi,Σii)X_i\sim\mathcal{N}(\mu_i,\Sigma_{ii})）。条件分布给定子集值仍正态：Xa∣Xb∼N(μˉ,Σˉ)\mathbf{X}_a\mid\mathbf{X}_b\sim\mathcal{N}(\bar{\boldsymbol{\mu}},\bar{\boldsymbol{\Sigma}})（μˉ=μa+ΣabΣbb−1(xb−μb)\bar{\boldsymbol{\mu}}=\boldsymbol{\mu}_a+\boldsymbol{\Sigma}_{ab}\boldsymbol{\Sigma}_{bb}^{-1}(\mathbf{x}_b-\boldsymbol{\mu}_b)）→线性回归+贝叶斯推断理论基础。不相关=独立（一般分布不满足，MVN特有）。

二元特例与应用

二元正态（n=2）：Σ=[σ12,ρσ1σ2;ρσ1σ2,σ22]\boldsymbol{\Sigma}=[\sigma_1^2,\rho\sigma_1\sigma_2; \rho\sigma_1\sigma_2,\sigma_2^2]。ρ=0\rho=0椭圆无倾斜（独立）；ρ>0\rho>0正斜率；ρ<0\rho<0负斜率。等高线为椭球（由特征向量（主轴方向）和特征值（轴长）决定）。

应用：投资组合理论（马科维茨→资产收益率MVN假设→均值方差优化；VaR计算）。线性回归（ϵ∼N(0,σ2I)\epsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I)→假设检验/CI基础）。线性判别分析(LDA)（各类数据点假设同协方差异均值的MVN）。

局限：金融数据肥尾（极端事件频率>正态预测）、偏度（实际不对称）、仅捕捉线性相关。扩展：多元t分布、Copula。