观测频数

观测频数 (Observed Frequency)

观测频数（Observed Frequency），也称实际频数或经验频数，是描述统计与推断统计中最基本的统计量之一，指在一次抽样或实验中，各分类类别或取值区间内实际出现的个体数目。观测频数构成了所有分类数据分析（Categorical Data Analysis）的原始数据基础，与期望频数（Expected Frequency）的对立统一关系则是卡方检验、似然比检验等一系列统计推断方法的核心逻辑支点。

定义与符号

设一个随机实验或调查涉及 $k$ 个互斥且完备的分类类别 $C_1, C_2, \ldots, C_k$。进行 $n$ 次独立观测后，落入第 $i$ 类的个体数目记为 $O_i$（Observed），即观测频数。显然有：

将观测频数写成向量形式 $\mathbf{O} = (O_1, O_2, \ldots, O_k)^T$，该向量服从多项分布 $\mathrm{Multinomial}(n, \mathbf{p})$，其中 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \ldots, p_k)$ 为各类别的真实（总体）比例参数。

观测频数与期望频数

观测频数是对抽样结果的直接记录，而期望频数 $E_i$ 则是在某个零假设 $H_0$ 为真的条件下，理论上应落入第 $i$ 类的次数。期望频数的计算公式为：

其中 $\pi_i^{(0)}$ 为在 $H_0$ 下第 $i$ 类的理论概率。例如，在拟合优度检验中，若 $H_0$ 假定各类别等概率，则 $E_i = n/k$；在独立性检验中，$E_{ij} = (R_i \times C_j) / n$，即行合计与列合计之积除以总样本量。观测频数与期望频数之间的偏离——即 $O_i - E_i$——构成了判断零假设是否成立的信号来源。

Pearson卡方统计量

英国统计学家Karl Pearson于1900年提出以观测频数与期望频数之差的平方和来度量偏离程度，即Pearson卡方统计量：

在零假设成立且 $n$ 充分大（通常要求所有 $E_i \geq 5$）的条件下，该统计量渐近服从自由度 $\nu = k - 1 - r$ 的卡方分布（$r$ 为从样本估计的参数个数）。当 $\chi^2$ 值过大——即观测频数与期望频数的差异超出了随机波动所能解释的范围——则拒绝 $H_0$。

值得注意的是，若样本量较小或某些类别期望频数过低，卡方近似会失效。此时通常采用Fisher精确检验（针对 $2 \times 2$ 列联表）或对类别进行合理合并，以确保每一类都有足够的期望频数。

列联表中的观测频数

在列联表（Contingency Table）分析中，观测频数 $O_{ij}$ 是按两个（或多个）分类变量交叉划分后落入第 $(i, j)$ 单元格的计数。例如在 $r \times c$ 的二维表中，独立性零假设 $H_0: p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$ 下，期望频数为：

其中 $O_{i\cdot} = \sum_j O_{ij}$ 为第 $i$ 行的边际频数，$O_{\cdot j}$ 类似。观测频数与这一独立模型的偏离通过卡方检验或似然比统计量 $G^2 = 2\sum_i\sum_j O_{ij} \ln(O_{ij} / E_{ij})$ 进行评估。在计量经济学中，观测频数还常用于构造离散选择模型（如Logit、Probit）的似然函数：给定协变量 $\mathbf{x}$，选择项 $j$ 的概率由模型参数决定，实际观测到的选择频数对应的对数似然为 $\sum_{i,j} O_{ij} \log P(Y_i = j \mid \mathbf{x}_i)$。

观测频数与频率

将观测频数除以总样本量即得观测频率（相对频数）：$f_i = O_i / n$。根据大数定律，当 $n \to \infty$ 时，$f_i \overset{p}{\longrightarrow} p_i$，即频率依概率收敛于真实概率。这一桥梁将样本中的计数信息与总体参数连接起来，是频率学派统计推断的基本逻辑起点。在贝叶斯统计框架下，观测频数同样出现在似然函数中：若以Dirichlet分布作为多项分布参数 $\mathbf{p}$ 的共轭先验，则后验分布也是Dirichlet分布，其后验期望为 $\mathbb{E}[p_i \mid \text{data}] = (O_i + \alpha_i) / (n + \sum\alpha_i)$，其中 $\alpha_i$ 为先验超参数——观测频数在此直接参与了对先验的更新。

实证应用与注意事项

观测频数在经济学中广泛用于市场研究的消费者偏好分组、劳动经济学的就业状态分类、产业组织的市场份额统计等场景。使用观测频数时须注意：第一，观测频数依赖于分类方案的选择，不同的分箱宽度（bin width）或类别合并方式可能影响分析结果；第二，抽样偏差会导致观测频数系统性地偏离真实分布，这一问题时至今日仍是抽样调查方法论的核心关切；第三，对于连续变量，观测频数需经直方图或核密度估计转化为可解释的图形形式，方能直观呈现数据的分布形态。