KNOWECON WIKI

ARTICLE

超几何分布模型常见例题

超几何分布模型常见例题 超几何分布是概率论中描述有限总体无放回抽样的重要离散概率分布。其概率质量函数为： 其中N为总体容量，K为成功元素总数，n为样本容量，k为样本中成功元素数。下面通过典型例题展示其应用。 例题一：摸球问题 袋中有10个球（6白4黑），无放回抽取3个，求恰有2个白球的概率。 解：N=10, K=6, n=3, k=2： 故恰有2个白球的概率

浏览 126 更新 2025-10-25

超几何分布模型常见例题

超几何分布是概率论中描述有限总体无放回抽样的重要离散概率分布。其概率质量函数为：

P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

其中NN为总体容量，KK为成功元素总数，nn为样本容量，kk为样本中成功元素数。下面通过典型例题展示其应用。

例题一：摸球问题

袋中有10个球（6白4黑），无放回抽取3个，求恰有2个白球的概率。

\noindent解：N=10,K=6,n=3,k=2N=10, K=6, n=3, k=2：

P(X=2)=(62)(41)(103)=15×4120=0.5P(X=2) = \frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{15 \times 4}{120} = 0.5

故恰有2个白球的概率为50\%。

例题二：产品质量检验

一批产品50件，含4件次品，随机抽检5件。

\noindent(a) 恰有1件次品：N=50,K=4,n=5,k=1N=50, K=4, n=5, k=1：

P(X=1)=(41)(464)(505)=4×1631852118760≈0.3081P(X=1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{46}{4}}{\binom{50}{5}} = \frac{4 \times 163185}{2118760} \approx 0.3081

\noindent(b) 至少1件次品：利用补集思想：

P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(40)(465)(505)≈1−0.6470=0.3530P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{46}{5}}{\binom{50}{5}} \approx 1 - 0.6470 = 0.3530

例题三：扑克牌

从52张牌（含4张A）中发5张，求恰有2张A的概率。

\noindent解：N=52,K=4,n=5,k=2N=52, K=4, n=5, k=2：

P(X=2)=(42)(483)(525)=6×172962598960≈0.0399P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{6 \times 17296}{2598960} \approx 0.0399

例题四：部门抽样

公司30名员工（技术部12人），随机选6人组成小组，求恰有4名技术部员工的概率。

\noindent解：N=30,K=12,n=6,k=4N=30, K=12, n=6, k=4：

P(X=4)=(124)(182)(306)=495×153593775≈0.1275P(X=4) = \frac{\binom{12}{4}\binom{18}{2}}{\binom{30}{6}} = \frac{495 \times 153}{593775} \approx 0.1275

与二项分布的关系

超几何分布（无放回）与二项分布（有放回）的核心区别在于抽样方式。当n/N≤0.05n/N \le 0.05时，超几何分布可用二项分布B(n,K/N)B(n, K/N)近似，此时有限总体修正因子N−nN−1≈1\frac{N-n}{N-1} \approx 1。超几何分布的期望E[X]=nKNE[X]=n\frac{K}{N}与二项分布相同，而方差Var(X)=nKN(1−KN)N−nN−1Var(X)=n\frac{K}{N}(1-\frac{K}{N})\frac{N-n}{N-1}则因无放回抽样而更小。

应用要点

识别超几何分布需把握三个特征：有限总体（NN已知有限）、二元分类（每位个体仅属成功或失败两类）、无放回抽样（每次抽取改变总体构成）。正确设定参数N,K,n,kN,K,n,k后代入组合公式即可求解。超几何分布在质量控制、审计抽样和生物统计学等领域有广泛应用，是分析有限总体无放回抽样问题的核心工具。