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阿罗-普拉特测度

阿罗-普拉特测度 (Arrow-Pratt Measure) 阿罗-普拉特测度（Arrow-Pratt Measure）是不确定性经济学和决策理论中量化决策者风险厌恶（Risk Aversion）程度的核心工具。由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 各自独立提出，该测度基于 期望效用理论（Expected Utility Theory）

浏览 0 更新 2025-11-08

阿罗-普拉特测度 (Arrow-Pratt Measure)

阿罗-普拉特测度（Arrow-Pratt Measure）是不确定性经济学和决策理论中量化决策者风险厌恶（Risk Aversion）程度的核心工具。由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 各自独立提出，该测度基于 期望效用理论（Expected Utility Theory）框架，利用冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数（von Neumann-Morgenstern 效用函数）的局部曲率性质来刻画风险态度的强度。阿罗-普拉特测度解决了此前仅能定性区分风险厌恶/风险中性/风险偏好的局限，使风险厌恶程度的跨个体比较和个体内部随财富变化的分析成为可能。

绝对风险厌恶测度

设决策者的 伯努利效用函数 u(w)u(w) 为财富 ww 的二次连续可微函数，满足 u′(w)>0u'(w) > 0（边际效用为正）。阿罗-普拉特绝对风险厌恶测度（Absolute Risk Aversion, ARA）定义为：

A(w)=−u′′(w)u′(w)A(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}

该定义的直觉来自三个等价角度：

风险溢价近似

考虑一个小赌局 ε~\tilde{\varepsilon}，满足 E[ε~]=0\mathbb{E}[\tilde{\varepsilon}] = 0 且方差 Var⁡(ε~)=σ2\operatorname{Var}(\tilde{\varepsilon}) = \sigma^2。决策者接受该赌局所需的风险溢价 π\pi——即确定性等值与期望财富之差——在二阶近似下为：

π(w,ε~)≈12A(w) σ2\pi(w, \tilde{\varepsilon}) \approx \frac{1}{2} A(w) \, \sigma^2

因此 A(w)A(w) 衡量了决策者为规避小额零均值风险每单位方差愿意支付的财富比例。A(w)A(w) 越大，对同一小风险的厌恶越强。

效用函数曲率

−u′′(w)-u''(w) 度量效用函数的局部凹度。但由于 u(w)u(w) 在正仿射变换下等价（即 v(w)=au(w)+bv(w) = a u(w) + b 代表相同的偏好），直接用 −u′′(w)-u''(w) 缺乏可比性。除以 u′(w)u'(w) 实现了归一化，使得 A(w)A(w) 对效用函数的正仿射变换保持不变。

接受赌局的概率等价

两个决策者面对同一小赌局时，风险厌恶程度较高的决策者需要更高的期望收益才愿意接受该赌局。阿罗-普拉特测度精确地排序了这种"抵抗力"。

相对风险厌恶测度

绝对风险厌恶的一个自然变体是相对风险厌恶测度（Relative Risk Aversion, RRA），定义为：

R(w)=w⋅A(w)=−wu′′(w)u′(w)R(w) = w \cdot A(w) = -w \frac{u''(w)}{u'(w)}

RRA 衡量的是决策者对与财富成比例的赌局（proportional gambles，如"财富增减 t%t\% "）的风险态度。此时风险溢价为：

π(w,wε~)≈12R(w) wσ2\pi(w, w\tilde{\varepsilon}) \approx \frac{1}{2} R(w) \, w \sigma^2

两类测度揭示了风险态度随财富变化的不同模式：若 ARA 递减则决策者财富增加时对固定绝对额风险的厌恶下降；若 RRA 不变则对同比例风险的厌恶保持恒定。

常见效用函数的风险厌恶特征

CARA 族：常绝对风险厌恶

指数效用函数（Exponential Utility）：

u(w)=−e−αw,α>0u(w) = -e^{-\alpha w}, \qquad \alpha > 0

此时 A(w)≡αA(w) \equiv \alpha 为常数，R(w)=αwR(w) = \alpha w（递增）。CARA 意味着决策者对固定金额风险的厌恶不随财富水平改变，在资产定价和合同理论中因其分析易处理性而被广泛使用。具有 CARA 偏好的个体对无风险资产和风险资产的配置中，风险资产持有的绝对金额独立于财富水平。

CRRA 族：常相对风险厌恶

幂效用函数（Power Utility）或等弹性效用函数（Isoelastic Utility）：

u(w)=w1−γ−11−γ,γ>0,γ≠1u(w) = \frac{w^{1-\gamma} - 1}{1 - \gamma}, \qquad \gamma > 0, \gamma \neq 1

当 γ=1\gamma = 1 时退化为对数效用：u(w)=ln⁡wu(w) = \ln w。

此时 R(w)≡γR(w) \equiv \gamma 为常数，A(w)=γ/wA(w) = \gamma / w（递减）。CRRA 偏好假设投资者对同比例风险的厌恶不随财富变化，这使其成为宏观经济模型（如 Ramsey 模型）和长期增长分析中的基准设定。经验研究中通常估计 γ∈[1,5]\gamma \in [1, 5]，但股权溢价谜题（Equity Premium Puzzle）暗示可能需要更高的 γ\gamma 值。

HARA 族：双曲绝对风险厌恶

双曲绝对风险厌恶效用函数（Hyperbolic Absolute Risk Aversion）涵盖了前述的 CARA 和 CRRA 为特例，其一般形式为：

A(w)=1w1−γ+ηA(w) = \frac{1}{\frac{w}{1-\gamma} + \eta}

当 η=0\eta = 0 时退化为 CRRA（A(w)=(1−γ)/wA(w) = (1-\gamma)/w）；当 γ→−∞\gamma \to -\infty 时趋于 CARA。HARA 族的财富容忍度 T(w)=1/A(w)T(w) = 1/A(w) 是财富的线性函数，这一性质保证了三阶参数化偏好的闭合解。

比较静态与阿罗定理

阿罗-普拉特框架的核心结果之一是如下的等价定理：对于两个效用函数 u1u_1 和 u2u_2，以下条件等价：

  1. A1(w)≥A2(w)A_1(w) \geq A_2(w) 对所有 ww 成立（即 u1u_1 比 u2u_2 在所有财富水平上更风险厌恶）
  2. 存在严格递增的凹函数 ϕ\phi，使得 u1(w)=ϕ(u2(w))u_1(w) = \phi(u_2(w))
  3. u1u_1 拒绝任何 u2u_2 会拒绝的赌局（且可能拒绝更多）
  4. u1u_1 的风险溢价始终不低于 u2u_2 的风险溢价
  5. u1u_1 的确定性等值始终不高于 u2u_2 的确定性等值

该定理为风险厌恶的跨个体比较提供了坚实的理论基础，也是诸多应用模型（如保险需求分析、最优资产配置、委托-代理问题）中比较静态分析的出发点。例如在保险需求模型中，绝对风险厌恶递减（DARA）意味着保险是劣等品——财富越高者购买越少的保险覆盖；而若相对风险厌恶为常数，则保险需求占财富的比例保持稳定。在最优资产配置中，DARA 意味着风险资产在投资组合中的份额随财富上升而增加，这与 CRRA 偏好下资产份额不变的结论形成对照。

高阶风险态度

阿罗-普拉特测度仅捕捉二阶风险规避（对均值保留展形的厌恶）。后续文献将分析扩展至更高阶：审慎（Prudence）由三阶导数 P(w)=−u′′′(w)/u′′(w)P(w) = -u'''(w)/u''(w) 度量，刻画预防性储蓄动机（Kimball 1990）；节制（Temperance）由四阶导数度量，影响风险背景下的风险承担决策。这些扩展使风险态度的度量构成一个完整的高阶矩偏好体系。

局限与批评

阿罗-普拉特测度建立在期望效用理论框架之上，其有效性受限于该框架的基本假设。在 前景理论（Prospect Theory）中，决策者并非对财富水平定义效用，而是对参照点依赖的收益和损失进行估值，且概率权重为非线性，因此单一的弯度度量不足以刻画风险态度。另外，实证中观测到的风险态度常随框架效应（Framing Effect）和决策情境变化，与阿罗-普拉特测度预期的稳定性不完全吻合。

进一步地，阿罗-普拉特测度本质上是一种局部度量——它刻画了效用函数在特定财富点附近的曲率，但可能无法准确捕捉决策者面对大额离散赌局时的全局风险态度。对于厚尾分布风险和极端事件（如金融危机中的尾部风险），局部曲率提供的风险溢价近似可能产生显著的定量偏误。此外，该测度基于期望效用理论的一维财富变量，无法直接处理多维度风险（如同时涉及消费、健康与闲暇的不确定性）或模糊厌恶（Ambiguity Aversion）情形，后者需要借助 最大最小期望效用（Maxmin Expected Utility）或 乘数偏好（Multiplier Preferences）等扩展框架。

尽管如此，该测度仍是经济学中量化风险态度的基础语言和分析起点，在金融经济学、保险经济学和公共政策的成本收益分析中发挥着不可替代的作用。