阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数

阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数 (Arrow-Pratt ARA)

阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Pratt Measure of Absolute Risk Aversion），简称ARA，由经济学家肯尼斯·阿罗和约翰·普拉特独立提出，是微观经济学和金融经济学中度量决策者在期望效用理论框架下风险回避程度的核心指标。

定义与风险溢价诠释

ARA的定义为 $\rho_A(x) = -u''(x)/u'(x)$，其中 $u$ 为vN-M效用函数，是财富 $x$ 的函数，满足边际效用为正即 $u'(x) > 0$，从而保证效用单调递增。ARA的符号具有明确的经济含义：若 $u''(x) < 0$（效用函数为凹），则 $\rho_A(x) > 0$，表示决策者具有风险厌恶特征，这源于凹效用函数所蕴含的递减边际效用；若 $u''(x) = 0$，则 $\rho_A(x) = 0$，对应风险中性；若 $u''(x) > 0$，则 $\rho_A(x) < 0$，对应风险偏好。$\rho_A(x)$ 的量纲为所衡量财富 $x$ 的倒数，是一个单位一致的系数，因此可以在不同个体之间或不同财富水平之间进行风险厌恶程度的比较。

ARA与风险溢价之间存在重要的局部近似关系。对于一个小型的零期望博彩 $\tilde{\epsilon}$，其风险溢价可以近似表示为 $\pi(x, \tilde{\epsilon}) \approx \frac{1}{2} \rho_A(x) \operatorname{Var}[\tilde{\epsilon}]$。该近似表明，ARA乘以博彩方差的一半，近似等于决策者为避免风险愿意放弃的财富数量，也就是确定性等价的折价。例如，若ARA为0.004，面对方差为100的博彩，风险溢价近似为0.5乘0.004乘100等于0.20，即决策者愿意放弃约0.2单位财富来规避该风险。ARA越高，决策者对风险的回避程度越强，即使面对微小的博彩也需要较高的风险溢价才愿意接受。

效用函数类别

常见的效用函数对应不同类型的ARA行为。CARA即常数绝对风险厌恶，对应指数效用函数 $u(x) = -e^{-\alpha x}$，此时 $\rho_A(x) = \alpha$ 为常数。这意味着无论财富水平如何变化，决策者对同等绝对金额的风险态度保持不变，即富裕前后对相同绝对规模的博彩反应相同。DARA即递减绝对风险厌恶，获得了大多数实证研究的支持。在这种情形下，决策者变得更加富有后，愿意接受更大绝对规模的风险博彩，ARA随财富增加而递减。一个典型的例子是CRRA效用函数 $u(x) = x^{1-\gamma}/(1-\gamma)$，此时 $\rho_A(x) = \gamma/x$，当财富趋于零时ARA趋于无穷，当财富极大时ARA趋于零，绝对金额的风险随财富增加而变得相对便宜。IARA即递增绝对风险厌恶在现实中较为罕见，可能仅在特殊的理论构造中出现。

相对风险厌恶系数（CRRA）定义为 $-x u''(x)/u'(x)$，它度量的是相对于财富百分比的风险态度，而非绝对金额。ARA与CRRA之间的关系为CRRA$(x) = x \cdot \rho_A(x)$。在资产定价理论中，ARA的高低直接影响股权溢价的大小。ARA越高，风险厌恶者要求的风险补偿越大，从而推高股权溢价。同时，ARA的 wealth effect 也与无风险利率相关联，并决定了消费平滑动机的强度。在预防性储蓄理论中，ARA对个体在面对未来不确定性时增加储蓄的意愿产生核心影响。