随机变量函数的置信区间

随机变量函数的置信区间

如何为由点估计$\hat{\theta}$及其置信区间推导出参数函数$g(\theta)$的置信区间？三方法：

方法一：转换法

需$g$严格单调。递增：$[L,U]\to[g(L),g(U)]$；递减：$[L,U]\to[g(U),g(L)]$。例：知$\sigma^2$的95\%CI=[9,25]→标准差$\sigma$的CI=$[3,5]$（$\sqrt{x}$递增）。局限：仅单调函数→多变量或多参数函数不适用。

方法二：Delta方法

基于泰勒展开一阶近似→最广泛大样本法。$\hat{\theta}\approx N(\theta,\mathrm{Var}(\hat{\theta}))$→$g(\hat{\theta})\approx g(\theta)+g'(\theta)(\hat{\theta}-\theta)$。方差近似：$\mathrm{Var}(g(\hat{\theta}))\approx[g'(\theta)]^2\mathrm{Var}(\hat{\theta})$。用$\hat{\theta}$替$\theta$：$\widehat{\mathrm{SE}}(g(\hat{\theta}))=|g'(\hat{\theta})|\cdot\mathrm{SE}(\hat{\theta})$。CI：$g(\hat{\theta})\pm z_{\alpha/2}\cdot|g'(\hat{\theta})|\cdot\mathrm{SE}(\hat{\theta})$。

例：对数优势 $g(p)=\log(p/(1-p))$。$g'(p)=1/[p(1-p)]$。$\mathrm{Var}(g(\hat{p}))\approx[1/(p(1-p))]^2\cdot p(1-p)/n=1/[np(1-p)]$。CI：$\log(\hat{p}/(1-\hat{p}))\pm z_{\alpha/2}\sqrt{1/[n\hat{p}(1-\hat{p})]}$。需优势比的CI→指数函数单调递增→对CI端点取指数。

局限：近似→小样本/高度非线性可能不准；需导数。

方法三：自助法(Bootstrap)

重抽样非参法→无分布假设/解析推导→计算模拟：从原始样本有放回抽n个形成自助样本→重复B次（如10000）→每次算$g(\hat{\theta}^*)$→B个值排序→分位数构成CI（百分位自助法）。例：两样本均值比$\mu_1/\mu_2$→解析难→自助易（分别重抽样→算比率→排序→取分位数）。

方法对比

Delta方法因通用简便为标准；计算力增强→自助在探索性数据分析和复杂模型中日受欢迎。