霍太林引理

霍太林引理 (Hotelling's Lemma)

霍太林引理（Hotelling's Lemma）是微观经济学中生产者理论的核心结论，以美国数学家和经济学家哈罗德·霍太林命名。该引理提供从企业利润函数直接推导产品供给函数和要素需求函数的简洁方法。在完全竞争市场中，作为价格接受者的企业，其利润函数对产品价格的偏导数等于企业对该产品的净供给量，利润函数对生产要素价格的偏导数的相反数等于企业对该要素的需求量。

数学表述与推导

设有L种商品（包括产出和投入），价格向量为p，利润最大化问题为 $\pi(p) = \max_{y \in Y} p \cdot y$，其中Y为生产集，$y^*(p)$ 为最优净产出向量。霍太林引理指出，若利润函数 $\pi(p)$ 在p处可微，则 $\partial \pi(p)/\partial p_l = y_l^*(p)$。其直觉在于，产品价格上升1单位，最优利润的变化等于最优净产出量，因为企业在最优处已经最大化利润，价格的微小变化对利润的间接效应（通过调整y）为零，仅直接效应"通过价格乘以数量"传导，这正是包络定理的体现。对于要素即负净产出（投入），$\partial \pi(p)/\partial w_i = -x_i^*(p)$，利润对工资 $w_i$ 的偏导等于最优劳动雇佣的相反数。

霍太林引理与谢泼德引理构成对偶关系。谢泼德引理从成本函数求条件要素需求，霍太林引理从利润函数求无条件要素需求和产出供给。Roy恒等式为消费者理论中的对应结果。霍太林引理的实践作用在于，在可计算一般均衡模型中，研究者可以通过估计成本函数或利润函数的形式，利用包络定理直接导出需求和供给函数用于模拟政策冲击，无需单独估计每一条要素需求和产出供给方程。