风险厌恶系数

风险厌恶系数 (Risk Aversion Coefficient)

风险厌恶系数是期望效用理论中量化经济主体对风险态度强度的核心指标，由阿罗（Kenneth Arrow）和普拉特（John Pratt）在20世纪60年代独立提出，故常称为阿罗-普拉特风险厌恶系数。该系数建立在冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数的基础上，通过效用函数的曲率从数学上刻画决策者在面对微小风险时的行为倾向。

绝对风险厌恶系数

阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Pratt Absolute Risk Aversion, ARA）定义为：

其中 $w$ 为财富水平，$U(w)$ 为伯努利效用函数，满足 $U'(w) > 0$ 和 $U''(w) < 0$。负号确保风险厌恶者对应的系数为正。该系数度量个体对相同绝对数额风险赌博的态度。在财富水平 $w$ 处，个体愿意支付的风险溢价 $\pi$ 对于微小风险 $\tilde{\varepsilon}$（零均值、方差 $\sigma^2$）近似为：

绝对风险厌恶系数随财富变化的特征决定了风险资产需求：

• 递减绝对风险厌恶（DARA）：$A'(w) < 0$，财富增加时对等额风险的厌恶降低，风险资产为正常品，更富有的人持有更多风险资产。
• 常数绝对风险厌恶（CARA）：$A'(w) = 0$，风险资产需求与财富无关，典型为指数效用函数 $U(w) = -e^{-\alpha w}$。
• 递增绝对风险厌恶（IARA）：$A'(w) > 0$，风险资产为低档品，极不常见。

相对风险厌恶系数

阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-Pratt Relative Risk Aversion, RRA）定义为：

乘以财富 $w$ 使该系数无量纲，衡量个体对相同比例财富风险的态度。相对风险厌恶系数随财富变化的行为：

• 递减相对风险厌恶（DRRA）：$R'(w) < 0$。
• 常数相对风险厌恶（CRRA）：$R'(w) = 0$，最常用设定，对应幂函数效用 $U(w) = w^{1-\gamma}/(1-\gamma)$（$\gamma \neq 1$）或对数效用 $U(w) = \ln w$（$\gamma = 1$），其中 $\gamma = R(w)$。
• 递增相对风险厌恶（IRRA）：$R'(w) > 0$。

CRRA 是经济学建模中最常用偏好设定，在消费CAPM、资产定价理论和拉姆齐模型中广泛采用。实证估计的 $\gamma$ 一般在 1 到 10 之间。

风险容忍系数

风险厌恶系数的倒数称为风险容忍系数（Risk Tolerance）：$T(w) = 1/A(w)$。在投资组合理论中，最优风险资产配置比例与风险容忍系数成正比。CARA 效用和正态收益下，风险资产绝对需求为 $x^* = (\mu - r_f)/(\alpha \sigma^2)$。CRRA 效用下最优投资组合中风险资产的份额为常数，此即默顿模型（Merton, 1969）的经典结论。

风险厌恶系数的度量与比较

对任意两个效用函数 $U_1$ 和 $U_2$，若在所有财富水平上 $A_1(w) \ge A_2(w)$，则称个体1比个体2更风险厌恶，等价于：个体1的确定性等价始终更低；$U_1 = \phi \circ U_2$（$\phi$ 为递增凹函数）；个体1对任何风险赌博要求的风险溢价均更高。这一定理（Pratt 定理）为风险厌恶的比较提供了严格的微观基础，在委托代理模型和合同理论中，委托人和代理人的相对风险态度直接决定最优激励合同的形态。