KNOWECON WIKI

ARTICLE

CRRA效用函数

CRRA效用函数 (Constant Relative Risk Aversion) CRRA效用函数（常相对风险厌恶效用函数）是宏观经济学、金融经济学和资产定价中最广泛使用的效用函数形式之一。其核心特征是决策者的相对风险厌恶系数不随消费（或财富）水平的变化而改变，这使得模型在经济增长和财富积累的长期分析中具有良好的缩放性质。CRRA效用函数也被称为等弹性效

浏览 0 更新 2025-11-08

CRRA效用函数 (Constant Relative Risk Aversion)

CRRA效用函数（常相对风险厌恶效用函数）是宏观经济学、金融经济学和资产定价中最广泛使用的效用函数形式之一。其核心特征是决策者的相对风险厌恶系数不随消费（或财富）水平的变化而改变，这使得模型在经济增长和财富积累的长期分析中具有良好的缩放性质。CRRA效用函数也被称为等弹性效用函数（Isoelastic Utility），因为其边际效用的弹性为常数。

函数形式

CRRA效用函数的通用形式为：

u(c)={c1−γ−11−γ,γ>0,γ≠1ln⁡c,γ=1u(c) = \begin{cases} \dfrac{c^{1-\gamma} - 1}{1 - \gamma}, & \gamma > 0, \gamma \neq 1 \\ \ln c, & \gamma = 1 \end{cases}

其中 c>0c > 0 表示消费水平，γ\gamma 是相对风险厌恶系数（也是跨期替代弹性的倒数）。当 γ=1\gamma = 1 时，该函数通过洛必达法则的极限退化为对数效用函数 ln⁡c\ln c。分子中的 −1-1 项仅是为了保证当 γ→1\gamma \to 1 时极限的连续性，它不影响决策的序数排序，因为它是仿射变换的一部分。

该函数的定义域为 c>0c > 0，一阶导数（边际效用）为 u′(c)=c−γ>0u'(c) = c^{-\gamma} > 0，满足单调性；二阶导数 u′′(c)=−γc−γ−1<0u''(c) = -\gamma c^{-\gamma-1} < 0，满足边际效用递减（风险厌恶）。函数满足稻田条件（Inada conditions）：lim⁡c→0u′(c)=+∞\lim_{c \to 0} u'(c) = +\infty，lim⁡c→∞u′(c)=0\lim_{c \to \infty} u'(c) = 0，这保证了最优消费路径始终为正。

风险厌恶的度量

CRRA效用函数得名于其常数相对风险厌恶的性质。回顾阿罗-普拉特风险厌恶度量：

  • 绝对风险厌恶系数（ARA）：A(c)=−u′′(c)u′(c)=γcA(c) = -\dfrac{u''(c)}{u'(c)} = \dfrac{\gamma}{c}。绝对风险厌恶随消费增加而递减，意味着富人愿意承担更大的绝对风险，这符合直觉。
  • 相对风险厌恶系数（RRA）：R(c)=−cu′′(c)u′(c)=γR(c) = -\dfrac{c u''(c)}{u'(c)} = \gamma（常数）。无论消费水平如何变化，决策者对相对风险（相对于自身消费水平的风险）的态度保持不变。

常数相对风险厌恶是CRRA效用的标志性特征，也是其与CARA效用函数（常绝对风险厌恶，指数效用）的根本区别。这一性质使得在经济增长模型中，即使人均消费长期增长，均衡中的风险溢价和利率等核心变量仍保持稳定。

跨期替代弹性

在跨期消费模型中，CRRA效用函数的另一个关键参数是跨期替代弹性（Elasticity of Intertemporal Substitution, EIS），定义为：

ψ≡−u′(c)c⋅u′′(c)=1γ\psi \equiv -\frac{u'(c)}{c \cdot u''(c)} = \frac{1}{\gamma}

EIS衡量消费者在不同时点之间替代消费的意愿。当 γ\gamma 较小时（ψ\psi 较大），边际效用曲线平坦，消费者愿意接受较大的跨期消费波动以换取更高的回报率；当 γ\gamma 较大时（ψ\psi 较小），消费平滑的动机强烈，消费者需要高利率补偿才愿意偏离均匀消费路径。

在CRRA框架下，风险厌恶与跨期替代弹性互为倒数——这两个在经济直觉上不同的概念被单一参数 γ\gamma 捆绑在一起。这既是CRRA的最大便利（单参数简洁），也是其主要局限。Epstein-Zin递归效用正是为了将风险厌恶与EIS分离而发展出来的推广形式。

重要特殊情形

  1. γ=0\gamma = 0：效用退化为线性函数 u(c)=c−1u(c) = c - 1，对应风险中性。此时边际效用为常数，决策者只关心期望回报，不关心风险。
  2. γ=1\gamma = 1：效用为对数函数 u(c)=ln⁡cu(c) = \ln c。对数效用在经济学中具有特殊地位——它均衡增长路径上的消费和财富增长率为常数，且在随机动态规划中常可获得解析解。Merton模型和卢卡斯树模型中广泛使用对数效用。
  3. γ→∞\gamma \to \infty：极限情况下决策者变为无限风险厌恶，即极大极小准则，只关心最坏情形下的消费水平。
  4. γ=2,3,5\gamma = 2, 3, 5：宏观和金融文献中的常用校准值。股权溢价之谜（Equity Premium Puzzle）由Mehra和Prescott（1985）提出，指出要在标准CRRA框架下解释历史股权溢价，需要 γ\gamma 达到30-50，远高于实验和微观数据中常见的1-5的范围。

核心应用

消费CAPM（CCAPM）：在卢卡斯资产定价模型中，代表性消费者具有CRRA效用，随机贴现因子（SDF）为 mt+1=β(ct+1/ct)−γm_{t+1} = \beta (c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}，其中 β\beta 是主观贴现因子。资产 ii 的期望超额回报满足：

Et[Ri,t+1−Rf,t]=−Cov⁡t(mt+1,Ri,t+1)Et[mt+1]E_t[R_{i,t+1} - R_{f,t}] = -\frac{\operatorname{Cov}_t(m_{t+1}, R_{i,t+1})}{E_t[m_{t+1}]}

该式表明，与消费增长协方差越高的资产（即经济衰退时支付低的资产）需要提供更高的风险溢价。

拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型：在最优增长模型中，CRRA效用下消费的欧拉方程为 c˙/c=(r−ρ)/γ\dot{c}/c = (r - \rho)/\gamma，其中 rr 为实际利率，ρ\rho 为时间偏好率。消费增长率等于利率与耐心率之差除以风险厌恶系数——γ\gamma 越大，消费增长对利率差的反应越弱。

预防性储蓄：CRRA效用具有正的三阶导数 u′′′(c)=γ(γ+1)c−γ−3>0u'''(c) = \gamma(\gamma+1)c^{-\gamma-3} > 0，意味着边际效用为凸函数。根据利兰德定理（Leland, 1968），这导致预防性储蓄动机：面对未来收入不确定性时，消费者倾向于增加储蓄，以缓冲不利冲击对边际效用的影响。储蓄的强度随 γ\gamma 增加而增强。

与相关概念的关系

CRRA效用是HARA效用函数（双曲绝对风险厌恶）的特殊情形。HARA效用的容忍度函数（风险厌恶的倒数）为消费的线性函数 T(c)=1/A(c)=a+bcT(c) = 1/A(c) = a + bc，而CRRA对应于 a=0,b=1/γa = 0, b = 1/\gamma 的情形。HARA族还包括CARA（b=0b = 0）和二次效用（b=−1b = -1），后者在均值-方差分析中使用，但因其绝对风险厌恶递增而常被认为经济直觉较差。

CRRA效用也是构建递归效用的基石。Epstein-Zin-Weil效用将时期效用定义在当期消费和未来效用的确定性等价上，当确定性等价的计算采用CRRA形式时，风险厌恶参数 γ\gamma 可与EIS参数 ψ\psi 分离：

Ut=[(1−β)ct1−1/ψ+β(Et[Ut+11−γ])1−1/ψ1−γ]11−1/ψU_t = \left[ (1-\beta) c_t^{1-1/\psi} + \beta \left(E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-1/\psi}{1-\gamma}} \right]^{\frac{1}{1-1/\psi}}

当 γ=1/ψ\gamma = 1/\psi 时，递归效用退化为标准CRRA函数，展示了CRRA在更广泛偏好结构中的基础地位。

CRRA效用函数以其简洁的解析形式和丰富的经济含义，成为连接风险态度、跨期决策与宏观经济均衡的核心纽带。无论是理论模型的推导、数值模拟的校准，还是实证资产定价的检验，CRRA都是不可或缺的基准工具。