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DARA

递减绝对风险厌恶 (Decreasing Absolute Risk Aversion, DARA) 递减绝对风险厌恶 (Decreasing Absolute Risk Aversion，简称 DARA) 是不确定性经济学和决策理论中描述决策者风险态度随财富水平变化的核心概念。它刻画了这样一种行为模式：随着个人财富的增加，其对任何给定绝对金额的风险的厌恶程

浏览 3 更新 2025-10-26

递减绝对风险厌恶 (Decreasing Absolute Risk Aversion, DARA)

递减绝对风险厌恶 (Decreasing Absolute Risk Aversion，简称 DARA) 是不确定性经济学和决策理论中描述决策者风险态度随财富水平变化的核心概念。它刻画了这样一种行为模式：随着个人财富的增加，其对任何给定绝对金额的风险的厌恶程度会下降。DARA 由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 在期望效用理论框架下独立提出，是刻画风险偏好的基础性质之一。

阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数

要理解 DARA，首先需要定义 阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数 (Arrow-Pratt Coefficient of Absolute Risk Aversion)。对于一个具有冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数 u(w)u(w) 的决策者，其中 ww 为财富水平，该系数定义为：

A(w)=−u′′(w)u′(w)A(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}

其中 u′(w)>0u'(w) > 0（边际效用为正）且通常 u′′(w)<0u''(w) < 0（边际效用递减，即风险厌恶）。

该系数的经济学直觉：A(w)A(w) 衡量的是效用函数在点 ww 处的曲率（经标准化）。曲率越大，决策者在面对一个小的对称性风险时要求的风险溢价越高，即越厌恶风险。具体地，对于一个以方差 σ2\sigma^2 度量的小风险，决策者所要求的风险溢价 π\pi 近似为：

π≈12A(w)σ2\pi \approx \frac{1}{2} A(w) \sigma^2

DARA 的定义与含义

DARA 的性质可以用绝对风险厌恶系数的导数来正式定义：

A′(w)=ddw[−u′′(w)u′(w)]<0A'(w) = \frac{d}{dw} \left[ -\frac{u''(w)}{u'(w)} \right] < 0

即随着财富 ww 的增加，A(w)A(w) 严格递减。

直观理解： DARA 意味着一个人越富有，就越愿意接受一个给定绝对大小的风险。例如，一个拥有 10,000 元财富的人可能不愿意接受一个以相等概率赢或输 1,000 元的赌局；但当他的财富增长到 1,000,000 元时，同样的 1,000 元赌局对他的威胁就大大降低了。DARA 捕捉的正是这种心理与决策规律。

与风险资产需求的关系

DARA 对资产配置有直接而重要的可检验含义：风险资产是一种正常品。换言之，随着投资者财富的增加，其投资于风险资产的绝对金额也会增加。

设一个投资者在无风险资产（收益率为 rfr_f）和单一风险资产之间配置财富。如果该投资者的效用函数满足 DARA，则可以证明，其投资于风险资产的绝对金额 a∗(w)a^*(w) 是财富 ww 的增函数：

da∗(w)dw>0\frac{da^*(w)}{dw} > 0

这一性质与经验观察高度吻合：更富有的家庭和个人通常持有更多风险资产（如股票）。如果效用函数不满足 DARA，上述推论将不再成立，由此提供了一个检验风险偏好结构的实证框架。

常见效用函数分类

根据绝对风险厌恶系数随财富的变化模式，效用函数可分为三类：

  • DARA（递减）：A′(w)<0A'(w) < 0。典型函数：幂函数 u(w)=w1−γ1−γ, γ>0u(w) = \frac{w^{1-\gamma}}{1-\gamma},\ \gamma > 0。
  • CARA（恒定）：A′(w)=0A'(w) = 0。典型函数：指数函数 u(w)=−e−αw, α>0u(w) = -e^{-\alpha w},\ \alpha > 0。
  • IARA（递增）：A′(w)>0A'(w) > 0。典型函数：二次函数 u(w)=aw−bw2u(w) = aw - bw^2（有限适用域）。

1. DARA 的典型代表：CRRA 效用函数

恒定相对风险厌恶 (CRRA) 效用函数族天然满足 DARA：

u(w)=w1−γ1−γ,γ>0, γ≠1u(w) = \frac{w^{1-\gamma}}{1-\gamma}, \quad \gamma > 0,\ \gamma \neq 1

其一阶导数 u′(w)=w−γu'(w) = w^{-\gamma}，二阶导数 u′′(w)=−γw−γ−1u''(w) = -\gamma w^{-\gamma-1}。计算绝对风险厌恶系数：

A(w)=−−γw−γ−1w−γ=γwA(w) = -\frac{-\gamma w^{-\gamma-1}}{w^{-\gamma}} = \frac{\gamma}{w}

于是 A′(w)=−γ/w2<0A'(w) = -\gamma / w^2 < 0，严格满足 DARA。同时，相对风险厌恶系数 R(w)=w⋅A(w)=γR(w) = w \cdot A(w) = \gamma 保持恒定——这也是 CRRA（Constant Relative Risk Aversion）名称的由来。

当 γ=1\gamma = 1 时，极限形式为对数效用 u(w)=ln⁡wu(w) = \ln w，A(w)=1/wA(w) = 1/w，同样满足 DARA。

2. CARA 的典型代表：指数效用函数

指数（CARA）效用函数 u(w)=−e−αwu(w) = -e^{-\alpha w}（其中 α>0\alpha > 0）具有恒定的绝对风险厌恶：

A(w)=−−α2e−αwαe−αw=α=常数A(w) = -\frac{-\alpha^2 e^{-\alpha w}}{\alpha e^{-\alpha w}} = \alpha = \text{常数}

CARA 的便利之处在于分析上的可操作性——决策者面对风险的态度不随财富变化，使得模型求解大为简化。但其隐含推论（富人投资于风险资产的绝对金额与穷人相同）与经验证据不符，这构成了 DARA 被广泛接纳的重要经验基础。

3. IARA 与二次效用函数

二次效用函数 u(w)=aw−bw2u(w) = aw - bw^2（其中 a,b>0a, b > 0 且 w<a/(2b)w < a/(2b) 以保证 u′>0u' > 0）呈现 IARA：

A(w)=−−2ba−2bw=2ba−2bwA(w) = -\frac{-2b}{a - 2bw} = \frac{2b}{a - 2bw}

A′(w)>0A'(w) > 0，意味着越富有越厌恶风险。这一性质与大多数经济行为观察相悖，因此二次效用函数在现代资产定价理论中较少用于描述风险偏好，尽管它构成了均值-方差分析的历史起点。

DARA 与相对风险厌恶的关系

将 DARA 对比于相对风险厌恶 (Relative Risk Aversion, RRA) 有助于完整理解风险态度结构：

R(w)=w⋅A(w)=−wu′′(w)u′(w)R(w) = w \cdot A(w) = -w \frac{u''(w)}{u'(w)}

DARA（A′(w)<0A'(w) < 0）不必然蕴含 DRRA（递减相对风险厌恶）：当 A′(w)<0A'(w) < 0 时，R′(w)=A(w)+wA′(w)R'(w) = A(w) + w A'(w) 的符号取决于两项的相对大小。CRRA 效用函数 (R′(w)=0R'(w) = 0) 是 DARA 与 CRRA 共存的典型案例；而 R′(w)>0R'(w) > 0（递增相对风险厌恶，IRRA）的效用函数也可以同时满足 DARA，只要 A(w)A(w) 的下降速度不如财富的增长速度快。

经验证据与意义

大量实证研究支持 DARA 假说：

  1. 横截面数据： 家庭调查数据显示，股票市场参与率和风险资产持有比例均随财富水平上升而增加。
  2. 实验经济学： 实验室研究中，当受试者被赋予不同水平的初始禀赋时，高禀赋组在等概率赌局中表现出更高的接受意愿。
  3. 宏观资产定价： 在消费资本资产定价模型 (CCAPM) 中，DARA（通过 CRRA 效用）提供了关于股权溢价与无风险利率的均衡解释。

在理论层面，DARA 被广泛视为对理性决策者风险偏好的一个合理且基本的假设。它与边际效用递减的自然直觉、风险资产需求的财富效应以及日常观察到的行为模式相一致。在当代金融经济学和宏观经济学模型中，采用满足 DARA 的效用函数（如 CRRA 族及其变体，如 Epstein-Zin 递归效用）已成为标准做法。