Delta方法

Delta方法 (Delta Method)

Delta方法→数理统计/计量→导出含渐近正态估量函数随机变量近似分→核用泰勒展开→由已知渐近分（CLT）近似更复杂统计量分布（尤方差）。若$\sqrt{n}(X_n-\mu)\to N(0,\sigma^2)$→g在μ处可微→g'(μ)≠0→一阶Delta：

渐方差$\text{Asy.Var}=[g'(\mu)]^2\sigma^2/n$→标误$\widehat{\text{SE}}=|g'(X_n)|\hat{\sigma}/\sqrt{n}$。推：泰勒≈→标化→常乘正态→用连续映射/斯卢茨基定理。

应用与推广

例1→均倒数：$g(\mu)=1/\mu$→$g'=-1/\mu^2$→渐方差$\sigma^2/(n\mu^4)$→SE=$S/(\sqrt{n}\bar{X}^2)$→构置信区。例2→两均比：$R=\mu_X/\mu_Y$→雅可比$\nabla g=[1/\mu_Y,-\mu_X/\mu_Y^2]$→$\text{Asy.Var}=(\nabla g)\Sigma(\nabla g)^T/n$。

多元Delta：$\mathbf{X}_n\to N_k(\mu,\Sigma)$→g:$\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^m$→

→用雅可比矩阵。二阶Delta：若g'(μ)=0→$n(g(X_n)-g(\mu))\to\frac{1}{2}g''(\mu)\sigma^2\chi^2_1$→收敛速n(非$\sqrt{n}$)→极限卡方→如样本方差自分。局限：渐近→小样精不足→非线强→近似差→导零失。核→Delta=简广适→现代统计/计量不可或缺基。