Eta-squared (η²)

Eta-squared (η²) — 效应量指标

Eta-squared (η²)，中文常译为η平方或eta平方，是方差分析（ANOVA）中最经典的效应量指标之一。它度量的是因变量的总变异中由分组因素（自变量）所解释的比例，其取值范围为$[0, 1]$。η²的直观含义是：当我们知道样本所属的组别后，对个体观测值的预测误差可以减少百分之多少。在单因素方差分析中，η²等价于R-squared|决定系数 $R^2$，因此也被称为"方差分析中的 $R^2$"。

定义与公式

η²的核心定义基于平方和的分解：

其中 $SS_{\text{between}}$ 是组间平方和（Between-Groups Sum of Squares），反映各组均值偏离总均值的程度；$SS_{\text{total}}$ 是总平方和（Total Sum of Squares），反映所有观测值偏离总均值的总变异。两者的比值即为η²。

在更一般的多因素方差分析（Factorial ANOVA）或多元回归框架下，η²可扩展为某个特定效应（主效应或交互效应）所解释的方差比例：

例如在双因素设计中，因素A的η² = $SS_A / SS_{\text{total}}$，交互效应A×B的η² = $SS_{A \times B} / SS_{\text{total}}$。

与Cohen's f的关系

η²与Cohen's f之间存在精确的数学转换关系，两者同为ANOVA框架下最常用的效应量度量。Cohen's f定义为：

反之，η²也可从Cohen's f反推：$\eta^2 = f^2 / (1 + f^2)$。Cohen给出了两者对应的经验阈值：η² = 0.01（小效应，$f = 0.10$）、η² = 0.06（中等效应，$f = 0.25$）、η² = 0.14（大效应，$f = 0.40$）。这些基准值广泛应用于功效分析（Power Analysis）中的样本量规划和研究设计。

偏η² (Partial η²)

在多因素方差分析中，原始η²存在一个严重缺陷：不同效应共享同一分母 $SS_{\text{total}}$，当引入更多因素时，已纳入因素解释的变异会压缩其他效应可解释的剩余变异，导致$\eta^2_{\text{effect}}$值系统性偏小。为此，偏η² (Partial η²)应运而生：

其分母排除所有其他系统效应的变异，仅保留效应本身的变异与误差变异之和。偏η²的含义是：在控制其他因素后，该效应单独解释的残差变异比例。在单因素设计中，偏η²退化为普通η²。在现代心理学、行为科学和社会科学研究中，偏η²已成为实验报告的标准配置，通常与ANOVA表一同呈现。

η²与η²\_p的局限性

尽管η²和偏η²直观易懂，两者均存在不可忽视的偏误。由于它们直接基于样本平方和计算，均未对纳入模型的因素数量进行惩罚：在样本量有限而因素较多时，η²会高估效应在总体中的解释比例。这与Adjusted R-squared|调整$R^2$的思路一致。更严重的批评来自方差分析框架外的学者：η²本质上是描述性而非推断性的——它仅描述样本中方差分解的比例，而非对总体效应量的无偏估计。因此，omega squared (ω²)（ω平方）和epsilon squared (ε²)（ε平方）作为修正指标被提出，它们通过对均方（Mean Square）而非平方和进行计算，提供更无偏的总体效应量估计。尽管如此，η²因其直观性和历史渊源，仍然是ANOVA效应量中最基础、最广泛报告的指标。