FWL定理

FWL定理 (Frisch-Waugh-Lovell)

FWL定理→计量/多元回归基→揭示回归系数偏效应可通过"残差归"等价获→核等式：$\hat{\beta}_1=(X_1'M_{X_2}X_1)^{-1}X_1'M_{X_2}Y$→$M_{X_2}=I-X_2(X_2'X_2)^{-1}X_2'$→对称/幂等/正交($M_{X_2}X_2=0$)。

净效应与直观

三步：①X₁对X₂归→残$\tilde{X}_1=M_{X_2}X_1$—X₁中与X₂线性无关部；②Y对X₂归→残$\tilde{Y}=M_{X_2}Y$—Y中与X₂无关部；③$\tilde{Y}$对$\tilde{X}_1$归→系数=原$\hat{\beta}_1$。核→控X₂后X₁对Y净效应→简归Y对X₁含通X₂间接→多元归β₁隔离直接。证：正规方组→代求解→收定理。

应用与推广

应：①控制变量理论基→教回率例→控能力→净教效→缓遗漏变量偏误。②去趋势→加入时间趋变与先去趋势等价。③面板固定效应→组内去均=应FWL→避免巨固定效应直算。④计算简→多控制时分步→降维度。⑤共线诊断→X₁与X₂高关→$\tilde{X}_1$变小→β₁标准误增→释VIF。

推广：可逆阵C→变后OLS等价(条)→工具变量IV/2SLS应→广义最小二乘GLS扩。局限：LS标误需调自由度→非线/GLM不一成→不替模设检(RESET/豪斯曼)→不解因果内生→核心：FWL=归论/计实/经释桥→揭偏效本质→利设控变/诊/算效→避归分误。