Median

中位数 (Median)

中位数（Median）是统计学中用于描述一组数据集中趋势的度量指标，指将数据按大小顺序排列后位于中间位置的值。与均值（Mean）相比，中位数具有更强的稳健性——它不受极端值或偏态分布的显著影响，因此在处理偏斜分布数据时更能代表数据的典型水平。中位数是分位数（Quantile）的一种特殊情形，即 $0.5$ 分位数（或第 $50$ 百分位数）。

定义与计算

设 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 为一组样本观测值，将其按升序排列为 $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}$。样本中位数的定义为：

当样本量为奇数时，中位数即为排序后最中间的那个观测值；当样本量为偶数时，中位数取中间两个观测值的算术平均数。

对于连续型随机变量 $X$，其总体中位数 $m$ 定义为使得累积分布函数 $F(m) = 0.5$ 的值，即：

当分布关于某点对称（例如正态分布）时，中位数与均值相等；当分布右偏时，中位数小于均值；左偏时，中位数大于均值。

性质与比较

中位数具有以下重要性质：

1. 稳健性：中位数的崩溃点（Breakdown Point）为 $1/2$，即最多可容忍 $50\%$ 的数据被污染而不致无限偏离，远高于均值的崩溃点 $1/n$。因此中位数是稳健统计（Robust Statistics）中最重要的位置估计量之一。
2. 最优性：中位数是使平均绝对偏差（Mean Absolute Deviation, MAD）最小的位置参数，即： \[ \tilde{x} = \arg\min_{c \in \mathbb{R}} \sum_{i=1}^{n} |x_i - c|. \] 而均值则最小化平方偏差之和。
3. 尺度等变性：若对数据做线性变换 $y_i = a x_i + b$，则中位数相应变换为 $\tilde{y} = a \tilde{x} + b$。
4. 抽样分布：样本中位数的渐近分布为： \[ \sqrt{n}(\tilde{x} - m) \xrightarrow{d} N\!\left(0, \frac{1}{4[f(m)]^2}\right), \] 其中 $f(m)$ 是总体密度函数在中位数处的取值。因此中位数的渐近方差通常大于均值，但效率损失在重尾分布中可忽略甚至逆转。

应用场景

收入与财富分布是使用中位数的经典场景。由于收入分布高度右偏，少数高收入者会将均值拉高，而中位数更能反映"典型个体"的收入水平。例如，基尼系数与中位数和均值之比常联合考察社会不平等程度。

房价指数中，房价中位数比均值更能抵制豪宅交易的干扰，因此各国房屋统计机构普遍使用中位数报告市场价格水平。美国人口普查局（U.S. Census Bureau）报告房价时同时发布中位数和均值，但主要参考中位数。

序数数据的分析也必须依赖中位数。对于无法进行算术运算的序数变量（如"不满意—一般—满意"量表），均值没有意义，而中位数的计算仅依赖排序，天然适用于此类数据。

与其他集中趋势度量的比较

均值对数据的利用效率最高（在正态分布下是充分统计量），但对异常值极度敏感。众数（Mode）适用于分类数据，但可能不唯一。在实际应用中，选择何种指标取决于数据分布特征、是否存在异常值以及研究目的。经济学研究中通常建议同时报告均值和中位数，以提供对数据集中趋势的完备刻画。

在假设检验领域，符号检验（Sign Test）和威尔科克森符号秩检验（Wilcoxon Signed-Rank Test）是基于中位数的非参数检验方法，它们不要求数据满足正态性假定，在样本量较小或分布未知时尤为适用。