Pitman-Morgan_检验

Pitman-Morgan 检验

Pitman-Morgan检验，也称Morgan检验，是一种用于检验两个相关或配对样本方差是否相等的假设检验方法。当数据成对出现时（如对同一组受试者前后两次测量），不能简单使用为独立样本设计的传统F检验比较方差——因为这会忽略样本间的内在相关性。Pitman-Morgan检验通过巧妙变换，将比较相关样本方差的问题转化为检验相关系数是否为零的问题。该检验由Edwin J. G. Pitman和William G. Morgan于1939年几乎同时独立提出。

检验原理与构造

假设有成对观测数据$(X_i, Y_i), i=1,\ldots,n$，来自二元正态分布$(X,Y) \sim N(\mu_X, \mu_Y, \sigma_X^2, \sigma_Y^2, \rho)$。检验目标：原假设$H_0: \sigma_X^2 = \sigma_Y^2$，备择假设可双侧也可单侧（$\sigma_X^2 > \sigma_Y^2$或$\sigma_X^2 < \sigma_Y^2$）。

关键变换为构造新变量$U_i = X_i + Y_i$（和变量）和$V_i = X_i - Y_i$（差变量）。计算二者的协方差：

这个推导揭示了一个关键关系：原始变量方差之差等于和变量与差变量的协方差。因此原假设$H_0: \sigma_X^2 = \sigma_Y^2$等价于$H_0: Cov(U, V) = 0$，进而等价于检验U和V的皮尔逊相关系数$\rho_{UV} = 0$。如此，一个关于相关方差比较的复杂问题被转化为检验相关系数是否为零的经典问题。

检验统计量与实施步骤

计算样本相关系数$r_{UV} = \sum(U_i-\bar{U})(V_i-\bar{V}) / [\sum(U_i-\bar{U})^2 \sum(V_i-\bar{V})^2]^{1/2}$。在原假设成立且二元正态条件下，转换为t分布统计量$t = r_{UV} \sqrt{(n-2)/(1-r_{UV}^2)}$，服从自由度为$df = n-2$的学生t分布。

实施步骤：陈述假设并选择双侧或单侧；检验前提条件——数据应服从二元正态分布（或至少为近似正态，大样本下更为稳健），样本对之间独立，连续随机变量；转换构造$U_i$和$V_i$；计算$r_{UV}$和t统计量；确定p值或与临界值比较做出判断。

与Levene检验或Brown-Forsythe检验等对方差齐性的一检验不同，Pitman-Morgan检验专门针对配对设计中相关样本的方差比较问题设计——核心假设为二元正态分布。在心理学和行为科学中，该检验常用于判断前后测的变异是否发生系统性变化——不仅关注平均值的改变（通常用配对t检验），更关注方差的稳定性。Pitman-Morgan检验在现代统计软件包中不如独立样本的方差比较方法普及，但其巧妙的数学变换思想是理解统计检验构造艺术的一个优秀范例。