Z检验

Z检验 (Z-test)

Z检验是基础参数检验，用标准正态分布（Z分布）作为假设检验统计量的抽样分布。理论基础：中心极限定理。

前提条件

总体标准差 $\sigma$ 已知（最核心条件，现实中常难满足但质量控制可用）、大样本容量（$n \ge 30$ CLT保证近似正态）、小样本需正态总体假设、随机抽样保证样本独立性。

Z统计量与检验步骤

单样本Z检验：$Z = (\bar{x} - \mu_0) / (\sigma/\sqrt{n})$。分母 $\sigma/\sqrt{n}$ 为均值的标准误(SEM)。Z统计量衡量样本均值距离假设总体均值有多少个标准误。

步骤：①陈述假设（$H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_a$双侧/左/右）；②设定显著性水平 $\alpha$（0.05/0.01/0.10）；③计算Z统计量；④决策：临界值法（查Z表与$\pm z_{\alpha/2}$比较，如$\alpha=0.05$双侧临界$\pm 1.96$）或P值法（$p \le \alpha$拒$H_0$）。

示例：灯泡声明寿命8000小时（$\sigma=400$），样本n=36，$\bar{x}=7850$。$Z = (7850-8000)/(400/6) \approx -2.25$。$\alpha=0.05$双侧临界$\pm1.96$，$-2.25 < -1.96$→拒$H_0$。p值$\approx 0.0244 < 0.05$→显著。

扩展与比较

双样本Z检验、比例Z检验。Z检验 vs t检验：$\sigma$已知→Z检验；$\sigma$未知（用s估计）→t检验。大样本下t分布趋近Z分布结果相近，但理论上$\sigma$未知时t检验永远更恰当。Z检验为理解假设检验的入门工具，应用研究中t检验更广泛。