stolz

Stolz-Cesàro定理

Stolz-Cesàro→数学分析求序列极限工具→连接形如$a_n/b_n$与原差商$(a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n)$极限→因与洛必达相似→称离散洛必达→尤效涉求和不定式。

定理形式

形一∞/∞型：序列$b_n$严单调递增→$\lim b_n=+\infty$→若$\lim(a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n)=L$存在→则$\lim a_n/b_n=L$。形二0/0型：两者均趋于0→$b_n$严单调→极限$L$存在→则$\lim a_n/b_n=L$。

应用示例

例1：$\lim(\sum_{k=1}^n k)/n^2$→$a_n=n(n+1)/2$, $b_n=n^2$→差商$(n+1)/(2n+1)\to1/2$即原极限。例2：$\lim n^{-1}\sum_{k=1}^n\sqrt[k]{k}$→$b_n=n$→∞→差商$\sqrt[n+1]{n+1}\to1$即原极限。

核：Stolz为强序列极限工具→尤涉和式→适∞/∞与0/0型→简化大量复杂极限→离散版洛必达→在分析中关键。