不定积分 (Indefinite Integral)
不定积分 (Indefinite Integral)，亦称反导数 (Antiderivative)，是微积分 中与导数 互为逆运算的核心概念。给定函数 f ( x ) f(x) f ( x ) f f f F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) 微积分基本定理 与定积分 建立起深刻的联系。
定义与基本记号
设函数 f f f I I I F F F x ∈ I x \in I x ∈ I F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F F F f f f I I I 原函数 。由拉格朗日中值定理 可知，若 F F F G G G f f f f f f
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C 其中 ∫ \int ∫ summa 的首字母 S 的拉长变形），f ( x ) f(x) f ( x ) 被积函数 ，d x dx d x x x x C C C 积分常数 (constant of integration)。积分常数是不定积分与定积分最本质的区别——不定积分返回的是函数族，而非单一数值。
基本积分公式
由基本求导公式直接反演，可得以下最常用的不定积分公式：
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 ) \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) ∫ x n d x = n + 1 x n + 1 + C ( n = − 1 ) ∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C ∫ x 1 d x = ln ∣ x ∣ + C ∫ e x d x = e x + C , ∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0 , a ≠ 1 ) \int e^{x}\,dx = e^{x} + C, \qquad \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1) ∫ e x d x = e x + C , ∫ a x d x = ln a a x + C ( a > 0 , a = 1 ) ∫ sin x d x = − cos x + C , ∫ cos x d x = sin x + C \int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C ∫ sin x d x = − cos x + C , ∫ cos x d x = sin x + C ∫ sec 2 x d x = tan x + C , ∫ csc 2 x d x = − cot x + C \int \sec^{2} x\,dx = \tan x + C, \qquad \int \csc^{2} x\,dx = -\cot x + C ∫ sec 2 x d x = tan x + C , ∫ csc 2 x d x = − cot x + C ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan x + C , ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \arcsin x + C ∫ 1 + x 2 1 d x = arctan x + C , ∫ 1 − x 2 1 d x = arcsin x + C 这些公式是计算复杂不定积分的基石。尤其值得注意的是 ∫ x − 1 d x = ln ∣ x ∣ + C \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C ∫ x − 1 d x = ln ∣ x ∣ + C n = − 1 n = -1 n = − 1 n → − 1 n \to -1 n → − 1
不定积分的线性性
不定积分是线性算子 ：对任意常数 α , β \alpha, \beta α , β f , g f, g f , g
∫ ( α f ( x ) + β g ( x ) ) d x = α ∫ f ( x ) d x + β ∫ g ( x ) d x \int \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx ∫ ( α f ( x ) + β g ( x ) ) d x = α ∫ f ( x ) d x + β ∫ g ( x ) d x 这一性质使得复杂函数的积分可以拆分为若干简单项分别积出。线性性是微分线性性（和、常数倍的求导法则）在积分侧的镜像反映，本质上源于微分与积分的互逆关系。在泛函分析 的视角下，不定积分是微分算子在合适函数空间上的左逆。
主要积分方法
第一换元法（凑微分法）
第一换元法 基于链式求导法则的反向使用。若被积函数可写为 f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) f(g(x)) \cdot g'(x) f ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x ) u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x )
∫ f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C \int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du = F(u) + C = F(g(x)) + C ∫ f ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x )) + C 典型应用包括：∫ sin ( 2 x ) d x \int \sin(2x)\,dx ∫ sin ( 2 x ) d x u = 2 x u = 2x u = 2 x − 1 2 cos ( 2 x ) + C -\frac{1}{2}\cos(2x) + C − 2 1 cos ( 2 x ) + C ∫ x e x 2 d x \int x e^{x^{2}}\,dx ∫ x e x 2 d x u = x 2 u = x^{2} u = x 2 1 2 e x 2 + C \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C 2 1 e x 2 + C
第二换元法
当第一换元法难以直接套用时，可主动引入变量替换 x = φ ( t ) x = \varphi(t) x = φ ( t )
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( φ ( t ) ) ⋅ φ ′ ( t ) d t \int f(x)\,dx = \int f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\,dt ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( φ ( t )) ⋅ φ ′ ( t ) d t 常见的换元策略包括三角换元 （如 a 2 − x 2 \sqrt{a^{2}-x^{2}} a 2 − x 2 x = a sin t x = a\sin t x = a sin t 倒代换 （令 x = 1 / t x = 1/t x = 1/ t 根式换元 （令 t = a x + b n t = \sqrt[n]{ax+b} t = n a x + b φ \varphi φ
分部积分法
分部积分法 源于乘积求导法则的积分形式：
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x \int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x 简记为 ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u\,dv = uv - \int v\,du ∫ u d v = uv − ∫ v d u
多项式与指数/三角函数的乘积：如 ∫ x e x d x \int x e^{x}\,dx ∫ x e x d x ∫ x sin x d x \int x \sin x\,dx ∫ x sin x d x u u u 多项式与对数/反三角函数的乘积：如 ∫ ln x d x \int \ln x\,dx ∫ ln x d x ∫ arctan x d x \int \arctan x\,dx ∫ arctan x d x u u u 指数与三角函数的乘积：如 ∫ e x sin x d x \int e^{x}\sin x\,dx ∫ e x sin x d x 分部积分法在处理含Gamma函数 Γ ( n ) = ∫ 0 ∞ t n − 1 e − t d t \Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1}e^{-t}\,dt Γ ( n ) = ∫ 0 ∞ t n − 1 e − t d t Beta函数 等特殊函数的递推关系中扮演关键角色。
有理函数积分与部分分式分解
对于有理函数 P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q ( x ) P ( x ) P , Q P, Q P , Q Q ( x ) Q(x) Q ( x ) 部分分式分解 (partial fraction decomposition)。四种基本类型为：
A x − a , A ( x − a ) k , A x + B x 2 + p x + q , A x + B ( x 2 + p x + q ) k \frac{A}{x-a},\quad \frac{A}{(x-a)^{k}},\quad \frac{Ax+B}{x^{2}+px+q},\quad \frac{Ax+B}{(x^{2}+px+q)^{k}} x − a A , ( x − a ) k A , x 2 + p x + q A x + B , ( x 2 + p x + q ) k A x + B 每种基本分式的积分均有标准公式可循。这一方法在经济学动态模型（如Solow增长模型 的微分方程求解）和概率论（如某些分布的矩母函数计算）中频繁出现。
与定积分的关系：微积分基本定理
不定积分与定积分的深层联系由牛顿-莱布尼茨公式 （Newton-Leibniz formula）给出，这是微积分基本定理 的核心内容：
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) 其中 F F F f f f
值得注意的是，并非所有初等函数的原函数都能用初等函数表示。例如 e − x 2 e^{-x^{2}} e − x 2 sin x x \frac{\sin x}{x} x s i n x 1 ln x \frac{1}{\ln x} l n x 1 刘维尔定理 （Liouville's theorem on elementary antiderivatives）给出严格证明，揭示了初等函数类在积分运算下的不封闭性。
在经济学中的应用
不定积分在经济学中有广泛而重要的应用，尤其体现在由边际量反推总量函数的分析框架中：
成本函数与边际成本 ：若已知边际成本 函数 M C ( q ) = C ′ ( q ) MC(q) = C'(q) MC ( q ) = C ′ ( q ) C ( q ) = ∫ M C ( q ) d q C(q) = \int MC(q)\,dq C ( q ) = ∫ MC ( q ) d q q = 0 q = 0 q = 0 M R ( q ) MR(q) MR ( q ) R ( q ) R(q) R ( q ) 消费者剩余与生产者剩余 ：在局部均衡分析中，消费者剩余 由需求曲线以下、价格线以上的面积给出，本质上是需求函数（边际支付意愿）的定积分与价格矩形的差。不定积分提供了需求函数的原函数形式，便于对不同价格区间作福利变化的比较静态分析。连续复利与增长模型 ：若已知变量的增长率函数，人口规模、资本存量等存量变量可通过积分增长率得到。例如，若资本存量增长率 K ˙ K = s ⋅ Y K − δ \frac{\dot{K}}{K} = s \cdot \frac{Y}{K} - \delta K K ˙ = s ⋅ K Y − δ K ( t ) K(t) K ( t ) 概率分布与期望 ：在计量经济学 中，连续型随机变量的概率密度函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 累积分布函数 F ( x ) F(x) F ( x ) 积分常数与初值问题
积分常数 C C C 初始条件信息 。在经济学建模中，常数由经济系统的初始状态（如基期资本存量 K 0 K_0 K 0 W 0 W_0 W 0 d y d x = f ( x ) \frac{dy}{dx} = f(x) d x d y = f ( x ) y ( x 0 ) = y 0 y(x_0) = y_0 y ( x 0 ) = y 0
y ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t ) d t y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt y ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t ) d t 这一表述清楚地表明：定积分提供的是从起点到当前点的净增量，而不定积分提供的则是函数族的完整结构。二者在初值问题的框架下被统一起来——这正是经济动态分析中最基本也最重要的数学工具之一。