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累积分布函数

累积分布函数 (Cumulative Distribution Function) 累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, 简称 CDF)，在概率论和统计学中，是一个用于描述随机变量 X 的概率分布的函数。对于任意实数 x ，CDF的值定义为随机变量 X 取值小于或等于 x 的概率。其标准数学表示为 F_X(x)

浏览 42 更新 2025-10-26

累积分布函数 (Cumulative Distribution Function)

累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, 简称 CDF)，在概率论和统计学中，是一个用于描述随机变量 X X 的概率分布的函数。对于任意实数 x x ，CDF的值定义为随机变量 X X 取值小于或等于 x x 的概率。其标准数学表示为 FX(x) F_X(x) 。

CDF的核心思想是“累积”，它提供了从负无穷到某个特定点的概率总和。因此，它也被称为 分布函数。理解CDF对于掌握随机变量的特性、计算概率以及进行统计推断至关重要。

形式化定义

设 X X 是一个定义在某个概率空间上的随机变量。其累积分布函数 FX:R→[0,1] F_X: \mathbb{R} \to [0, 1] 定义为：

FX(x)=P(X≤x)F_X(x) = P(X \le x)

其中，P(X≤x) P(X \le x) 表示随机变量 X X 的取值不大于实数 x x 的概率。

根据随机变量的类型，CDF的具体计算方式有所不同：

  1. 离散随机变量 (Discrete Random Variable)

如果 X X 是一个离散随机变量，其可能的取值为 x1,x2,… x_1, x_2, \ldots 。其概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)为 p(xi)=P(X=xi) p(x_i) = P(X=x_i) 。那么，它的CDF是所有小于等于 x x 的可能取值的概率之和：

FX(x)=∑xi≤xP(X=xi)=∑xi≤xp(xi)F_X(x) = \sum_{x_i \le x} P(X=x_i) = \sum_{x_i \le x} p(x_i)

离散随机变量的CDF是一个阶梯函数（step function），在每个可能的取值点 xi x_i 处发生跳跃，跳跃的高度等于 P(X=xi) P(X=x_i) 。

  1. 连续随机变量 (Continuous Random Variable)

如果 X X 是一个连续随机变量，其概率密度函数 (Probability Density Function, PDF)为 fX(t) f_X(t) 。那么，它的CDF是其PDF从负无穷到 x x 的积分：

FX(x)=∫−∞xfX(t) dtF_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt

连续随机变量的CDF是一个连续且非递减的函数。

CDF的基本性质

任何一个合法的CDF，无论其对应的随机变量是离散的、连续的还是混合的，都必须满足以下三个基本性质：

  1. 非递减性 (Non-decreasing)

对于任意两个实数 x1 x_1 和 x2 x_2 ，如果 x1≤x2 x_1 \le x_2 ，那么必然有 FX(x1)≤FX(x2) F_X(x_1) \le F_X(x_2) 。 讲义解释：这个性质源于概率的非负性。从 x1 x_1 到 x2 x_2 的区间 (x1,x2] (x_1, x_2] 的概率是 P(x1<X≤x2)=FX(x2)−FX(x1) P(x_1 < X \le x_2) = F_X(x_2) - F_X(x_1) 。由于概率不能为负，所以 FX(x2)−FX(x1)≥0 F_X(x_2) - F_X(x_1) \ge 0 ，即 FX(x2)≥FX(x1) F_X(x_2) \ge F_X(x_1) 。随着 x x 的增加，我们是在累积更多的概率，所以函数值只能增加或保持不变。

  1. 极限行为 (Limiting Behavior)

CDF在正负无穷处的极限分别为：

lim⁡x→−∞FX(x)=0\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0
lim⁡x→+∞FX(x)=1\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1

讲义解释：当 x x 趋向负无穷时，X≤x X \le x 是一个几乎不可能发生的事件，其概率为0。当 x x 趋向正无穷时，X≤x X \le x 包含了所有可能的取值，是一个必然事件，其总概率为1。

  1. 右连续性 (Right-continuity)

CDF在任何点 x x 都是右连续的，即：

lim⁡h→0+FX(x+h)=FX(x)\lim_{h \to 0^+} F_X(x+h) = F_X(x)

讲义解释：这意味着当你从一个点 x x 的右侧无限逼近它时，函数的极限值等于该点的函数值。对于离散随机变量，这表现为在跳跃点处，函数值等于阶梯较高处的值。

与PDF/PMF的关系

CDF与PDF（连续情况）或PMF（离散情况）是描述同一概率分布的两种不同方式，它们可以相互转换。

  • 从 PDF/PMF 到 CDF：如定义所示，通过积分（连续）或求和（离散）可以得到CDF。
  • 从 CDF 到 PDF/PMF：
  • 对于连续随机变量，其PDF是CDF的导数（在CDF可导的点上）：
fX(x)=ddxFX(x)f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x)
  • 对于离散随机变量，其PMF可以通过计算CDF在相邻可能取值点上的差值得到。假设 xi x_i 是一个可能的取值，则：
p(xi)=P(X=xi)=FX(xi)−lim⁡h→0+FX(xi−h)=FX(xi)−FX(xi−1)p(x_i) = P(X=x_i) = F_X(x_i) - \lim_{h \to 0^+} F_X(x_i - h) = F_X(x_i) - F_X(x_{i-1})

这里的 FX(xi−1) F_X(x_{i-1}) 是在 xi x_i 之前的那个可能取值点的CDF值。跳跃的高度即为该点的概率。

示例

示例1：离散随机变量（公平的六面骰子）

考虑投掷一个公平的六面骰子，随机变量 X X 表示掷出的点数。X X 的可能取值为 {1,2,3,4,5,6} \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ，每个取值的概率（PMF）为 p(x)=1/6 p(x) = 1/6 。

其CDF FX(x)=P(X≤x) F_X(x) = P(X \le x) 的计算如下：

  • 如果 x<1 x < 1 , FX(x)=P(X≤x)=0 F_X(x) = P(X \le x) = 0 。
  • 如果 1≤x<2 1 \le x < 2 , FX(x)=P(X≤x)=P(X=1)=1/6 F_X(x) = P(X \le x) = P(X=1) = 1/6 。
  • 如果 2≤x<3 2 \le x < 3 , FX(x)=P(X=1)+P(X=2)=1/6+1/6=2/6 F_X(x) = P(X=1) + P(X=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 。
  • 如果 3≤x<4 3 \le x < 4 , FX(x)=3/6 F_X(x) = 3/6 。
  • 如果 4≤x<5 4 \le x < 5 , FX(x)=4/6 F_X(x) = 4/6 。
  • 如果 5≤x<6 5 \le x < 6 , FX(x)=5/6 F_X(x) = 5/6 。
  • 如果 x≥6 x \ge 6 , FX(x)=P(X=1)+…+P(X=6)=6/6=1 F_X(x) = P(X=1) + \ldots + P(X=6) = 6/6 = 1 。

这是一个典型的阶梯函数，在 1,2,3,4,5,6 1, 2, 3, 4, 5, 6 各点处向上跳跃了 1/6 1/6 。

示例2：连续随机变量（均匀分布）

考虑一个服从区间 [a,b] [a, b] 上均匀分布的随机变量 X X 。其PDF为：

fX(x)={1b−aif a≤x≤b0otherwisef_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

我们可以通过积分得到其CDF FX(x) F_X(x) ：

  • 对于 x<a x < a ：
FX(x)=∫−∞x0 dt=0F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0
  • 对于 a≤x≤b a \le x \le b ：
FX(x)=∫−∞a0 dt+∫ax1b−a dt=0+[tb−a]ax=x−ab−aF_X(x) = \int_{-\infty}^{a} 0 \, dt + \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} \, dt = 0 + \left[ \frac{t}{b-a} \right]_{a}^{x} = \frac{x-a}{b-a}
  • 对于 x>b x > b ：
FX(x)=∫−∞a0 dt+∫ab1b−a dt+∫bx0 dt=0+1+0=1F_X(x) = \int_{-\infty}^{a} 0 \, dt + \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \, dt + \int_{b}^{x} 0 \, dt = 0 + 1 + 0 = 1

综上，均匀分布的CDF是一个从0线性增长到1的函数。

应用

CDF在理论和应用中都极为重要：

  1. 计算概率：CDF最直接的应用是计算随机变量落在某个区间的概率。
P(a<X≤b)=FX(b)−FX(a)P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)

对于连续变量，由于单点概率为0，所以 P(a<X<b)=P(a≤X≤b)=FX(b)−FX(a) P(a < X < b) = P(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a) 。但对于离散变量，必须小心处理边界点。

  1. 定义分位数 (Quantiles)：分位数函数（或百分点函数）是CDF的反函数，Q(p)=FX−1(p) Q(p) = F_X^{-1}(p) 。它回答了这样一个问题：“哪个值 x x 使得随机变量小于或等于它的概率为 p p ？”。中位数就是 p=0.5 p=0.5 时的分位数。这在金融中的风险价值 (Value at Risk, VaR)计算中至关重要。
  1. 生成随机数：在蒙特卡洛模拟中，CDF被用于逆变换采样法 (Inverse Transform Sampling)。通过在 [0,1] [0, 1] 区间上生成一个均匀分布的随机数 u u ，然后计算 x=FX−1(u) x = F_X^{-1}(u) ，就可以得到一个服从所需分布 FX F_X 的随机数 x x 。
  1. 统计检验：一些非参数检验方法，如柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验 (Kolmogorov-Smirnov Test)，直接比较两个样本的经验分布函数 (Empirical Distribution Function, ECF)，ECDF是真实CDF的一个样本估计，从而判断它们是否来自同一分布。