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定积分

定积分 (Definite Integral) 定积分（Definite Integral）是微积分（Calculus）中与不定积分并列的两大核心概念之一，它将函数在某一区间上的"累积效应"量化成一个具体的数值。从几何角度看，定积分最直观的含义是计算函数曲线与x轴在给定区间内所围成的曲边梯形的面积。与不定积分求出的是原函数族不同，定积分的结果始终是一个确定的

浏览 41 更新 2025-10-26

定积分 (Definite Integral)

定积分（Definite Integral）是微积分（Calculus）中与不定积分并列的两大核心概念之一，它将函数在某一区间上的"累积效应"量化成一个具体的数值。从几何角度看，定积分最直观的含义是计算函数曲线与x轴在给定区间内所围成的曲边梯形的面积。与不定积分求出的是原函数族不同，定积分的结果始终是一个确定的实数。定积分的标准记号为：

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx

其中 ∫ \int 为积分号，a a 和 b b 分别为积分下限与上限，它们共同定义了积分的区间 [a,b] [a,b] ；f(x) f(x) 为被积函数，代表需要累积的量；dx dx 表明积分变量为 x x ，同时也暗示着积分过程中涉及无穷小的变化量。

黎曼和：定积分的严格定义

定积分的严谨数学定义建立在黎曼和（Riemann Sum）的基础之上，其核心思想是用一系列矩形的面积之和来逼近曲边梯形的面积。这一思想可以追溯到古希腊的阿基米德，但直到19世纪才由黎曼给出严格的数学表述。具体步骤如下：

第一步——分割区间：将闭区间 [a,b] [a,b] 分成 n n 个子区间，分点为 a=x0<x1<⋯<xn=b a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b ，第 i i 个子区间的宽度记为 Δxi=xi−xi−1 \Delta x_i = x_i - x_{i-1} 。为简便起见，常采用等距分割，即 Δx=(b−a)/n \Delta x = (b-a)/n 。

第二步——选取样本点：在每个子区间 [xi−1,xi] [x_{i-1},x_i] 中任取一点 xi∗ x_i^* ，称为样本点。样本点的选取方式可以是任意的——左端点、右端点、中点或区间内任意位置均可。

第三步——构建黎曼和：以 f(xi∗) f(x_i^*) 为高、Δxi \Delta x_i 为宽作矩形，其面积为 f(xi∗) Δxi f(x_i^*)\,\Delta x_i 。将所有 n n 个矩形的面积相加，得到黎曼和：

Sn=∑i=1nf(xi∗) ΔxiS_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i

第四步——取极限：当分割数 n n 趋于无穷大（即最大子区间宽度 max⁡Δxi→0 \max\Delta x_i\to0 ）时，若黎曼和的极限存在且与样本点的选取方式无关，则该极限值就定义为函数 f f 在区间 [a,b] [a,b] 上的定积分：

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗) Δxi\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i

若此极限存在，则称函数 f f 在 [a,b] [a,b] 上黎曼可积（Riemann integrable）。数学分析中的一个重要结论是：闭区间上的连续函数必然黎曼可积；更一般地，在闭区间上仅有有限个间断点的有界函数也是黎曼可积的。

微积分基本定理

尽管黎曼和为定积分提供了严格的定义，但直接用定义计算定积分极其繁琐，几乎不具备实用价值。微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）是微积分学中最重要的定理之一，它深刻地揭示了微分与积分之间的互逆关系，使定积分的计算变得简单可行。该定理由两部分组成：

第一基本定理（FTC I）：设函数 f f 在 [a,b] [a,b] 上连续，定义变上限积分函数 g(x)=∫axf(t) dt g(x)=\int_a^x f(t)\,dt （其中 x∈[a,b] x\in[a,b] ），则 g′(x)=f(x) g'(x)=f(x) 。这意味着"变上限的定积分"恰好是被积函数的一个原函数（也称为反导数）。该定理保证了连续函数的原函数一定存在。

第二基本定理（FTC II）：若 F F 是 f f 在 [a,b] [a,b] 上的任意一个原函数（即满足 F′(x)=f(x) F'(x)=f(x) ），则有：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) = F(x)\Big|_a^b

该定理将定积分的计算转化为寻找被积函数的原函数并代入上下限求差的代数运算，大大简化了计算过程。

计算示例：求 ∫02x2 dx \int_0^2 x^2\,dx 。被积函数 f(x)=x2 f(x)=x^2 的一个原函数为 F(x)=13x3 F(x)=\frac13x^3 ，于是：

∫02x2 dx=13⋅23−13⋅03=83\int_0^2 x^2\,dx = \frac13\cdot2^3 - \frac13\cdot0^3 = \frac83

几何意义与符号面积

当被积函数 f(x)≥0 f(x)\ge0 时，定积分 ∫abf(x) dx \int_a^b f(x)\,dx 的几何意义是曲线 y=f(x) y=f(x) 下方、x轴上方以及直线 x=a x=a 与 x=b x=b 所围成区域的面积。然而，当函数在区间内既有正值也有负值时，定积分的几何意义变为净符号面积（net signed area），即x轴上方区域的面积取正号、下方区域的面积取负号，求其代数和。例如，∫02πsin⁡x dx=0 \int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0 ，因为在 [0,π] [0,\pi] 上的正面积恰好被 [π,2π] [\pi,2\pi] 上的负面积抵消。

定积分的基本性质

定积分具有一系列重要性质，这些性质在理论推导和实际计算中发挥着关键作用。设 f f 和 g g 在 [a,b] [a,b] 上可积，c c 为任意常数，则定积分满足以下常用性质：

  1. 零区间：∫aaf(x) dx=0 \int_a^a f(x)\,dx = 0
  2. 积分限反转：∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx
  3. 线性性质：∫ab[f(x)+g(x)] dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx \int_a^b [f(x)+g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx ；∫abcf(x) dx=c∫abf(x) dx \int_a^b c f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx
  4. 区间可加性：若 a<c<b a<c<b ，则 ∫abf=∫acf+∫cbf \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f
  5. 保序性：若在 [a,b] [a,b] 上 f(x)≥0 f(x)\ge0 ，则 ∫abf≥0 \int_a^b f\ge0 ；若 f(x)≥g(x) f(x)\ge g(x) ，则 ∫abf≥∫abg \int_a^b f \ge \int_a^b g
  6. 绝对值不等式：\$\left|∫ab\int_a^b f(x)\,dx
ight∣≤∫ab∣f(x)∣ dx$ight| \le \int_a^b |f(x)|\,dx\$
  1. 估值定理：若 m≤f(x)≤M m \le f(x) \le M 在 [a,b] [a,b] 上成立，则 m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a) m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)

常用计算技巧与拓展

换元积分法（U-Substitution）：进行变量替换时，积分限须同步变换。例如计算 ∫01(2x+1)3 dx \int_0^1(2x+1)^3\,dx ，令 u=2x+1 u=2x+1 ，则 du=2dx du=2dx ，x=0 x=0 时 u=1 u=1 ，x=1 x=1 时 u=3 u=3 ：

∫01(2x+1)3 dx=12∫13u3 du=12⋅u44∣13=10\int_0^1(2x+1)^3\,dx = \frac12\int_1^3 u^3\,du = \frac12\cdot\frac{u^4}{4}\Big|_1^3 = 10

分部积分法（Integration by Parts）：∫abu dv=[uv]ab−∫abv du \int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du

此外，三角换元和部分分式分解等技巧同样适用于定积分。当被积函数的原函数不能用初等函数表示时，需借助数值积分方法（如梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分等）进行近似计算。这些方法通过离散化将积分转化为有限个函数值的加权和，在工程计算中极为实用。当积分区间为无穷区间或被积函数在区间内无界时，定积分的概念被推广为反常积分。

主要应用

定积分作为微积分的核心分支，是现代科学和工程不可或缺的数学工具，其应用几乎遍及所有定量学科。在几何学中，定积分可用于计算两条曲线之间的面积、旋转体的体积（包括圆盘法和壳层法）以及曲线的弧长。在物理学中，定积分用于计算变力沿直线所做的功、液体的静压力、质心与形心位置、转动惯量等。在经济学中，定积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余。在概率论与统计学中，通过对概率密度函数进行积分可计算连续型随机变量落在某区间内的概率，而累积分布函数本身也由密度函数的积分定义。可以说，凡是涉及"累积量"的问题，都离不开定积分这一强大的数学工具。