不等式

不等式 (Inequalities)

不等式→数学/经济/统计/优化核心工具→描量间大小/序关系。微观(约束优化/福利)/宏观(收入分配/增长)/金融(风险/资产定价)/统计推断/ML(凸优化)广泛依赖不等式建理论基础。分经典代数、凸分析、概率、信息论几大类。

经典代数不等式

柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz)：$(\sum a_i b_i)^2\le(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$→判内积空间夹角→OLS中证$R^2\le1$→相关性系数绝对值$\le1$根由。三角不等式：$\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$→范数基本性质→度量空间距定义。

AM-GM不等式：正数算术平均$\ge$几何平均→$\frac{\sum x_i}{n}\ge(\prod x_i)^{1/n}$→效用最大化/生产最优证→经济成本最小化约束下产出最优。霍尔德不等式(Hölder)推广柯西→L^p空间对偶→矩不等式基础。

凸分析与优化不等式

詹森不等式(Jensen)→凸函数期望运算→$f(E[X])\le E[f(X)]$→风险厌恶/保险需求/期权凸性定价基石。KKT条件含不等式约束优化→$\nabla f(x^*)+\sum\lambda_i\nabla g_i(x^*)=0$+互补松弛$\lambda_ig_i(x^*)=0$→拉格朗日乘数推广到不等式约束。

杨氏不等式(Young)：$ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$（$1/p+1/q=1$）→霍尔德/闵可夫斯基不等式证基础→熵与信息论界推导用。

概率与统计不等式

切比雪夫不等式(Chebyshev)：$P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le1/k^2$→不需分布假设→大数定律证→投资风险上限估→鞅差序列推广。马尔可夫不等式：$P(X\ge a)\le E[X]/a$→切比雪夫/其他概率界母体。

切尔诺夫界(Chernoff bound)：矩生成函数指数上界→集中不等式(concentration inequality)族→大偏差理论核心→ML泛化误差/统计学习(VC维→霍夫丁不等式)→分类器误差概率指数衰减。克拉美-拉奥下界(Cramér-Rao)：$\mathrm{Var}(\hat\theta)\ge1/I(\theta)$→无偏估计最下方差→充分统计量/费舍尔信息桥接→MLE渐近有效证。

信息论不等式

吉布斯不等式(Gibbs)：$D_{KL}(P\|Q)\ge0$→KL散度非负→由Jensen凹$\log$得→熵最大/互信息非负/EM算法ELBO构造基。数据处理不等式(DPI)：$I(X;Y)\ge I(X;T(Y))$→后处理不增信息→充分统计量最优性判据→因果关系推断辅。

法诺不等式(Fano)：$H(e)+P_e\log(|\mathcal{X}|-1)\ge H(X|Y)$→分类误差下界→统计学习理论/信道编码定理逆证。闵可夫斯基不等式(Minkowski)：$\|x+y\|_p\le\|x\|_p+\|y\|_p$→$L^p$空间范数三角不等推广。

经济金融核心不等式

收入不平等测度：基尼系数(Gini)→洛伦兹曲线下面积比→0（绝对平等）\~1（绝对不平等）→帕累托分布拟合顶层收入→库兹涅茨曲线假说→倒U型发展路径。阿特金森指数(Atkinson)含社会不平等厌恶参数$\epsilon$→社会福利函数隐偏好→收入再分配理论基。

无套利(No-arbitrage)→金融市场基本不等式→资产定价基本定理→等价鞅测度存在→衍生品定价(Black-Scholes)前提。预算约束(Budget constraint)→消费者理论/生产者理论≥关系→斯卢茨基方程分解替代/收入效应→一般均衡可行配置界定。