效用最大化

效用最大化 (Utility Maximization)

效用最大化→微观经济学中消费者理论的基石→理性消费者在给定预算约束下选择一篮子商品与服务以获得最大效用。形式化为一个约束最优化问题：在支出不超过收入的前提下最大化效用函数。该框架是推导需求曲线、进行福利分析的出发点。

核心构件：效用、预算与偏好

效用→序数效用概念：仅对不同消费束排优劣（A≻B），不可量化差值。效用函数 $U(x_1,x_2)$ 为偏好的数值表示→只需保序，任何正单调变换仍表同一偏好。边际效用 $MU_i = \frac{\partial U}{\partial x_i}$ 为额外一单位商品 $i$ 的效用增量→受边际效用递减定律支配。

预算约束：设收入 $I$、价格 $p_1,p_2$，有 $p_1x_1 + p_2x_2 \le I$→等式边界为预算线，斜率 $-p_1/p_2$ 为市场交换率。可支付集合为预算线以下区域。

无差异曲线：给定效用水平 $\bar{U}$ 的集合 $\{ (x_1,x_2) \mid U(x_1,x_2) = \bar{U} \}$。核心性质：(i) 越远离原点→效用越高；(ii) 任两条不相交；(iii) 凸向原点→反映边际替代率递减。

最优条件：内部解

效用最大化的内部解（$x_1^*>0, x_2^*>0$）发生在预算线与可及最高无差异曲线的切点：

\quad\Rightarrow\quad

此即等边际效用原理→最优处每元购买力带来的边际效用跨商品均等。若 $\frac{MU_1}{p_1} > \frac{MU_2}{p_2}$→减少 $x_2$ 转购 $x_1$→$MU_1$↓、$MU_2$↑→持续至等式恢复。

拉格朗日求解法

建立拉格朗日函数 $\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda) = U(x_1,x_2) + \lambda(I - p_1x_1 - p_2x_2)$，其中拉格朗日乘数 $\lambda$ 经济含义为收入的边际效用——收入增一单位时最优效用的增量。

一阶条件 (FOCs)：

\\

联立解出 马歇尔需求函数 $x_i^* = x_i(p_1,p_2,I)$→描述需求量如何随价格与收入变化。对 $n$ 种商品，条件推广为 $\frac{MU_i}{p_i} = \lambda$ 对所有 $i$ 成立。

角点解与特殊情况

当最优消费束在坐标轴上（某商品消费量为零）→角点解。典型情形：(i) 完全替代品→只购价格较低者；(ii) 对所有可行束恒有 $\frac{MU_1}{p_1} > \frac{MU_2}{p_2}$→只消费商品1，$x_1^* = I/p_1$，$x_2^* = 0$。此时切点条件不成立，代以Karush-Kuhn-Tucker条件刻画。

经济学应用与扩展

需求曲线推导→变动 $p_1$ 反复求解马歇尔需求，描出个人需求曲线→水平加总得市场需求。消费者剩余→以需求曲线下方面积衡量福利，分析税收、补贴之无谓损失与补偿变异。跨期选择→两时期模型：$U(c_1,c_2)$，预算约束含利率 $r$：$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = I_1 + \frac{I_2}{1+r}$→决定储蓄/借贷。期望效用→不确定性下最大化 $\mathbb{E}[U(W)]$→资产定价与投资组合选择的微观基础，导出风险规避测度（Arrow-Pratt）。对偶性→支出最小化为效用最大化的镜像问题→联结希克斯需求函数与补偿需求，引出Slutsky方程将价格效应分解为替代效应与收入效应。