似然比检验统计量

似然比检验统计量 (Likelihood-Ratio Test Statistic)

似然比检验统计量（Likelihood-Ratio Test Statistic）是统计推断中进行假设检验的核心工具，源于似然比检验（LRT）——通过比较两个竞争性统计模型的拟合优度进行决策的方法。根本思想是：若原假设的约束正确，则模型的似然函数值不应显著下降。

理论定义

设参数空间为$\Omega$，原假设$H_0$为参数$\theta$属于子集$\Omega_0 \subset \Omega$（约束模型），备择假设$H_1$为$\theta \notin \Omega_0$（无约束模型，通常以整个$\Omega$为范围）。似然比检验统计量$\lambda_{LR}$定义为约束下最大化似然值与整个参数空间下最大化似然值的比率：

其中分母为最大似然估计量$\hat{\theta}_{MLE}$在全参数空间下的似然值，分子为约束下最大化似然值$\hat{\theta}_0$。由于约束集为全空间子集，$0 \le \lambda_{LR} \le 1$：$\lambda_{LR}$接近1表示约束未显著降低似然（支持$H_0$），$\lambda_{LR}$接近0表示约束严重降低似然（拒绝$H_0$）。

渐近分布与操作形式

为简化分析，采用对数转换形式：$LR = -2 \ln(\lambda_{LR}) = 2(\ell(\hat{\theta}_{MLE}) - \ell(\hat{\theta}_0))$，其中$\ell(\theta) = \ln L(\theta|\mathbf{x})$为对数似然函数。LR统计量的行为与$\lambda_{LR}$相反——支持$H_0$时$LR \to 0$，拒绝$H_0$时$LR \to \infty$。决策规则为当LR足够大时拒绝原假设。

LR统计量的核心性质是威尔克斯定理（Wilks' Theorem）：在原假设成立的条件下且满足正则条件，LR统计量渐近服从卡方分布——$LR \xrightarrow{d} \chi^2_q$，其中自由度$q$等于约束的个数（即$\dim(\Omega) - \dim(\Omega_0)$）。该渐近结果是似然比检验在应用中广泛采用的基础——它提供了大样本下的临界值来源和p值计算方式。

似然比检验是三大假设检验（与沃尔德检验和拉格朗日乘数检验并列）之一，在计量经济学（模型设定检验、嵌套模型比较）、生物统计学（广义线性模型的变量选择）、机器学习（模型选择和特征选择）等各领域广泛使用。相比Wald检验，LRT在非线性约束下和有限样本中通常表现更稳健——因为LR直接比较似然差异而非依赖参数估计量的二次近似。但在有限样本下Wilks定理的近似质量需谨慎对待，特别在小样本和参数维度较高时可能需采用Bartlett校正或Bootstrap方法来改进推断的准确性。